第七章第七节空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理

第七节空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的建立(如图)(ⅰ)坐标系为_____系;(ⅱ)④指_____,记为__;(ⅲ)①指__轴,②指__轴,③指__轴;(ⅳ)①和②,②和③,③和①确定的平面分别指____平面,____平面,____平面.右手原点OxyzxOyyOzxOz(2)空间直角坐标系中的点的坐标表示类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示,在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置,任意一点P的坐标记为_________(x,y,z).2.空间两点间的距离公式(1)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d=___________.(2)空间两点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)间的距离|AB|=___________________________.222abc222212121(xx)(yy)(zz)3.空间向量的标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理(1)在给定的空间直角坐标系中，i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z)，使得a=________.把___________叫作a的标准正交分解，把_____叫作标准正交基.________叫作空间向量a的坐标，记作a=(x,y,z).__________叫作向量a的坐标表示.xi+yj+zka=xi+yj+zki,j,ka=(x,y,z)(x,y,z)(2)若b0为b的单位向量，称___________________为向量a在向量b上的投影.向量的坐标等于它在_____________上的投影.(3)空间向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空间三个_______的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个____.坐标轴正方向不共面基底a·b0=|a|cos〈a,b〉4.空间向量运算的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).(1)a+b=__________________;(2)a-b=__________________;(3)λa=________________(λ∈R);(4)a·b=_____________;(5)|a|=_____=____________;(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(λx1,λy1,λz1)x1x2+y1y2+z1z2aa222111xyz(6)cos〈a,b〉=__________________________________;(7)a∥b(b≠0)______(8)a⊥b________________________.121212222222111222xxyyzz(a0,b0)xyzxyza=λb121212xxyy,Rzz，，a·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成四部分.()(2)空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球.()(3)空间中任意三个向量都可以作为空间向量的一个基底.()(4)xOz平面内点的纵坐标都为0.()(5)在空间直角坐标系中，点M(-5，3，1)关于x轴的对称点的坐标为(-5，-3，-1).()【解析】(1)错误.空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成八部分.(2)错误.空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.(3)错误.只有当三个向量不共面时才可以.(4)正确.点在xOz平面内，故点在y轴上的射影一定是坐标原点，其纵坐标为0，横坐标、竖坐标不确定.(5)正确.关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√1.在空间直角坐标系中，点A(1，1，1)与点B(2，2，-1)之间的距离为()(A)(B)6(C)(D)2【解析】选A.由空间两点间的距离公式可得｜AB｜＝63222(12)(12)(11)6.＝2.给定三个向量v1=(1,0,1),v2=(1，1，0)，v3=(1，1，k2+k-1)，其中k是一个实数，若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则k的取值为()(A)(B)(C)(D)1521525121515,22【解析】选B.∵存在非零向量同时垂直于v1，v2，v3，∴向量v1，v2，v3共面，设v3=av1+bv2，则(1，1，k2+k-1)=a(1，0，1)+b(1，1，0)，即∴a=0，b=1，k2+k-1=0，∴21ab1bkk1a，，，11415k.223.已知向量a=(8，x),b=(x，1，2)，其中x＞0.若a∥b，则x的值为()(A)8(B)4(C)2(D)0【解析】选B.a∥b且x＞0存在λ＞0，使a=λb1x2，x8,21x(8xx)x2,x4.222x，，，，，得4.已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下的坐标为则向量p在基底a,b,c下的坐标为________．【解析】由条件得p==a+2b+3c，故向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)．答案：(1,2,3)31,,322()，31()()322ababc5.已知空间三点A(1，1，1)，B(-1，0，4)，C(2，-2，3)，则的夹角θ＝________.【解析】＝(-2，-1，3)，＝(-1，3，-2)，∴＝(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=2-3-6=-7.∴cosθ=ABCA与ABCAABCA222|AB|(2)(1)314,222|CA|(1)3(2)14,ABCA71.142ABCA＝＝｜｜｜｜又∵θ∈［0,π］,∴答案：2.323考向1求空间点的坐标【典例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_______.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【思路点拨】(1)空间直角坐标系中,点在x轴上的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)分析正三棱柱底面三角形角的大小，正确选择原点及坐标轴建系.【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AC的中点是D，连接BD，则BD⊥y轴，且∴A(0,0,0),B(1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(1,2),C1(0,2,2).BD3，3,3,【互动探究】本例题(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.【解析】建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,-1,0),B(0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1(0,2),C1(0,1,2).3,3,【拓展提升】求空间中点P的坐标的方法(1)垂面法：过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(2)垂线法：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.【变式备选】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标.【解析】如图，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.从M点分别向平面yAz、平面xAz、平面xAy作垂线.∵正方体的棱长为2，∴M点的坐标为(1，1，2).同理，N点坐标为(1，0，1).考向2空间两点间的距离【典例2】如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在棱CD上．当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.【思路点拨】确定点P，Q的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识解决.【规范解答】因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为AB的中点,所以P又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，其中z0∈［0,a］，故|PQ|=因此当时，|PQ|的最小值为aaa(,,).2222220aaa(0)(a)(z)222220aa(z)22，0az22a.2【互动探究】本例中,若将“点P为对角线AB的中点”改为“当点P在对角线AB上运动时”,其余条件不变,则结果如何?【解析】显然，当点P在AB上运动时，点P到坐标平面xOz、yOz的距离相等，由题意可设P(t,t,a-t),t∈［0,a］，又Q在CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，z0∈［0,a］.所以|PQ|===故当z0=t=时，|PQ|有最小值为2220(t0)(ta)(atz)22202t2ata(atz)2220aa(zta)2(t),22a22a.2【拓展提升】1.求空间两点间距离的步骤(1)建立坐标系，写出相关点的坐标.(2)利用公式求出两点间的距离.2.两点间距离公式的应用(1)求两点间的距离或线段的长度.(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值.(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.【变式备选】1.已知点A(1，a，-5),B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.|AB|＝=∴当a=-1时,|AB|取最小值33362326222(12a)a752＋［()］＋25(a1)5436.＋＋36.2.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小，则此最小距离为________.【解析】由已知，可设M(x,1-x,0),则|MN|==∴|MN|min=答案：222(x6)(1x5)(01)22(x1)51.51.51考向3空间向量的坐标运算【典例3】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1，AA1的中点.(1)求||.(2)求cos〈〉的值.(3)求证：BN11BA,CB11ABCM.【思路点拨】由题意可知：CA，CB，C1C两两互相垂直，故以C为坐标原点建立空间直角坐标系，然后利用向量的有关运算公式解决.【规范解答】如图所示，建立以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，则||=(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴∴∴BN222(10)(01)(10)3.11BA112CB012.，，，，，1111BACB3,|BA|6,|CB|5,111111BACB30cosBA,CB.10|BA||CB|〈〉(3)依题意得C1(0，0，2)，∴又=(-1，1，-2)，∴∴11M222(，，)，111CM(,,0).221AB1111ABCM00.2211ABCM.【拓展提升】用空间向量的坐标运算解决问题的一般步骤用坐标法解决立体几何问题时，先根据题目中几何体的形状建立恰当的空间直角坐标系，然后用坐标表示相应