第一章《集合》复习课件1 北师大版必修1

章末复习课知识概览对点讲练知识点一数形结合思想的应用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．例1已知集合A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|2axa＋1，a1}，B⊆A，求实数a的取值范围．解∵a1，∴2aa＋1，∴B≠∅.画出数轴分析，如图所示．由图知，要使B⊆A，需2a≥1或a＋1≤－1，即a≥12或a≤－2.又∵a1，∴实数a的取值范围是a≤－2或12≤a1.规律方法解此类题一定要看是否包括端点临界值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．变式迁移1已知全集U＝{x|x250，x∈N}，L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}，∁U(M∪L)＝{0,5}，求集合M和L.解第一步：求得全集U＝{x|x250，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}；第二步：将L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}，∁U(M∪L)＝{0,5}中的元素在Venn图中依次定位；第三步：将元素4,7定位；第四步：根据图中的元素位置，得集合M＝{2,3,4,7}，集合L＝{1,4,6,7}．知识点二分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学中重要的思想方法之一，它是根据研究对象本质属性的不同，将研究对象分成若干类，然后就每一类分别研究得出每一类的结论，需特别注意分类时的不重不漏性．例2已知集合P＝{x|x2－1＝0}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，求实数a.分析解题时需对集合P的子集Q中的元素个数进行讨论，集合P中有两个元素，所以集合Q中的元素有0个(空集)、1个、2个三种情况，得到对应的集合Q有四种情况．解由题意得P＝{－1,1}，再由Q⊆P得：Q＝∅或Q＝{1}或Q＝{－1}或Q＝{－1,1}．①当Q＝∅时，得a＝0；②当Q＝{1}时，得a×1＝1，即a＝1；③当Q＝{－1}时，得a×(－1)＝1，即a＝－1；④当Q＝{－1,1}时，由于a不为0时，ax＝1为一次方程，不可能有两解，此时a不存在，综上可知a＝－1,0,1.规律方法解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A⊆B即可分两类：(1)AB；(2)A＝B.而对于(1)AB又可分两类：①A≠∅；②A＝∅.从而使问题得到解决．需注意A＝∅这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．变式迁移2设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，集合B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解(1)若0∈B，则a＝±1，当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A；当a＝－1时，B＝{0}⊆A.(2)若－4∈B，则a＝7或a＝1，当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}⊆A；当a＝1时，满足题意．(3)若B＝∅，则满足x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，应有Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，a的范围为a≤－1或a＝1.知识点三等价转化思想的运用在解答数学问题时，常常会遇到一些直接求解比较复杂的问题，此时常常把待求问题通过某种方式转化成与其等价的问题进行求解，如在本章中集合关系A∩B＝A⇔A⊆B；A∩B＝A∪B⇔A＝B等．例3已知A＝{x|x2＋3x－4＝0}，B＝{x|x2＋(a＋1)x－a－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a的值和集合B.解∵A∪B＝A，∴B⊆A，而A＝{x|(x＋4)(x－1)＝0}＝{1，－4}，B＝{x|(x＋a＋2)(x－1)＝0}，①当B中只有一个元素时，则－a－2＝1，即a＝－3，此时B＝{1}．②当B中有两个元素时，－a－2＝－4，即a＝2，此时B＝{1，－4}．综上可知，a＝－3时，B＝{1}；a＝2时，B＝{1，－4}．规律方法在解决一个问题时，若从问题的正面入手较麻烦或不易入手时，可转化成其等价的熟悉问题求解，也可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，即“正难则反”的解题策略．变式迁移3已知集合A＝{x∈R|4≤x5}，B＝{x∈R|k－1≤x2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围．解从A∩B≠A的反面考虑，运用补集思想求解．若A∩B＝A，则A⊆B，又A≠∅，则k－1≤42k－1≥5，得k≤5k≥3，即3≤k≤5，又k∈R，所以当A∩B≠A时，实数k的取值范围为集合{k|3≤k≤5}的补集，即{k|k3，或k5}．课时作业一、选择题1．已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合M＝{3,4,5}，集合N＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是()A．M∪NB．M∩NC．(∁IM)∪(∁IN)D．(∁IM)∩(∁IN)解析∵(∁IM)∩(∁IN)＝∁I(M∪N)，而{2,7,8}＝∁I(M∪N)．D2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N等于()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}解析由x＋y＝2，x－y＝4解得x＝3，y＝－1.D3．设集合A＝{x|2≤x2a－1}，B＝{x|1≤x≤6－a}，若3∈A∩B，则实数a的取值范围是()A．a2B．2≤a3C．2≤a≤3D．2a≤3解析∵3∈A，∴2a－13.∴a2.又3∈B，∴6－a≥3.∴a≤3.D4．已知全集U＝N*，集合M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}，则()A．U＝M∪NB．U＝(∁UM)∪NC．U＝M∪(∁UN)D．U＝∁U(M∩N)解析由于NM，由Venn图可知选C.C5．已知U为全集，A，B，C是U的子集，(A∪C)⊆(A∪B)，则下列正确命题的个数是()①∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)；②(∁UA∩∁UC)⊇(∁UA∩∁UB)；③C⊆B.A．0个B．1个C．2个D．3个解析①∵(A∩C)⊇(A∩B)，∴∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)，∴①正确．②∵(A∪C)⊆(A∪B)，∴∁U(A∪C)⊇∁U(A∪B)，即(∁UA∩∁UC)⊇(∁UA∩∁UB)，∴②正确．由Venn图可知，③正确．故选C.C二、填空题6．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________；集合A*B中的所有子集的个数为________．解析列举法．n元集合有2n个子集．5167．用集合的交和并表示图中阴影部分为________．A∩B∪C8．为了解决上下班的交通问题，调查了某地100个职工，其中78人持有月票，52人拥有自行车，而持有月票又有自行车的有37人，既无月票又无自行车的共______人．解析画出Venn图即得．7三、解答题9．已知A＝{x|x2＋(2＋p)x＋1＝0，x∈Z}，若A∩(0，＋∞)＝∅，求p的取值范围．解①若A＝∅，则Δ＝(p＋2)2－40，得－4p0.②若方程的两个根为非正实数，则Δ≥0，x1＋x2＝－(p＋2)≤0，x1x2＝10.解得p≥0.综上所述，p的取值范围是{p|p－4}．10．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A＝B，求a的值；(2)若∅A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．解B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．(1)若A＝B，由根与系数的关系可得a＝5和a2－19＝6同时成立，即a＝5.(2)由于∅A∩B，且A∩C＝∅，故只可能3∈A.此时a2－3a－10＝0，也即a＝5或a＝－2.当a＝5时，A＝B＝{2,3}，A∩C≠∅，舍去；当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意，故a＝－2.(3)当A∩B＝A∩C≠∅时，只可能2∈A，有a2－2a－15＝0，也即a＝5或a＝－3，经检验知a＝－3.