钢结构讲义4

说明杆件有两种稳定的平衡状态，这称为平衡的分枝。属于第一类稳定问题，以曲线稳定平衡状态为临界状态。偏心受压杆在荷载开始作用时，杆件就发生弯曲，荷载低于临界荷载时，杆件随时处于弯曲的平衡状态。而在达临界荷载后，平衡状态被破坏。杆件仅存在一种弯曲平衡状态，属于第二类稳定问题。设计轴心受力构件时，应同时满足第一极限状态和第二极限状态的要求。强度稳定第二极限状态是限制构件正常使用时的变形。N曲杆平衡NNcr第一极限状态为承载力极限状态，包括受压构件的承载力常决定于稳定因而为了提高临界力，应采用较为开展的截面型式即提高回转半径。通常采用实腹式截面和格构式截面。实腹式：沿构件全长都是连续分布的。格构式：由柱肢和缀材组成截面，缀材沿构件全长是间隔分布的。实腹式组合截面要保证局部稳定格构式截面要保证单肢稳定lNEIcr22AIi2i111(d)格构式构件截面§4.2轴心受力构件的强度和刚度轴心受力构件的强度承载力是以全截面的平均应力达到屈服应力为极限。由于柱要通过螺栓连接其它构件，柱截面有削弱，因此需进行净截面强度计算。对于高强螺栓摩擦型连接，还需验算构件的毛截面强度：为满足轴心受力构件的正常使用要求，构件应具有一定的刚度要求，以保证构件不会产生过度的变形。轴心受力构件刚度的保证是通过构件长细比来确定的：fNAnfNAn'或fANil0式中：：是构件两个主轴方向的计算长度；：是构件两个主轴方向中与对应的回转半径；：«规范»规定的容许长细比。λ过大⇒抗弯刚度过小，易产生振动，对构件不利杆件长细比按照下列规定确定：①截面为双轴对称或极对称的构件λx=lox/ixλy=loy/iy式中：lox、loy构件对主轴x和y的计算长度ix、iy构件对主轴x和y的回转半径注意：双轴对称十字形截面构件λx≥5.07b/tλy≥5.07b/tl0iNxzllNyzl/2l/2lox=l/2、loy=lbtl0②单轴对称截面构件绕非对称轴λx=lox/ix而绕对称轴的λy，应采用计及扭转效应的换算长细比λyz(后面阐述)。容许长细比的取值可查表，受压构件＝150＝250（有重级工作制吊车的厂房）＝350（有中、轻级工作制吊车的厂房）xy受拉构件多数情况下§4.3轴心受压构件的临界力理想轴心受压构件丧失稳定，或者称屈曲，有三种情况：弯曲屈曲：杆件纵轴线发生弯曲变形扭转屈曲：杆件各截面绕纵轴线扭转变形弯扭屈曲：既有各截面绕纵轴线的扭转，又有纵轴线的弯曲变形需算出三种屈曲情况的屈曲临界力，然后取小值，作为轴压构件的临界力。确定轴心受压构件的临界力时，采用下列假设：①杆件为两端铰接的理想直杆；②轴心压力作用于杆件两端，且为保向力（即弯曲时，轴心压力方向不变）。③屈曲时变形很小，忽略杆长的变化。④屈曲时轴线挠曲成正弦半波曲线，截面仍保持平面。一.弯曲屈曲静力法：据曲线平衡状态求解微分方程。属于精确法。能量法：属于近似法。列平衡方程即：注意：对实心截面，可以不考虑剪力影响，薄壁截面不能忽略。能量法稳定准则：杆件从直杆平衡状态转变为无限临近的曲杆平衡状态时，外荷势能的变化和杆件中应变能的变化总量不变。即：Pyzy求临界力的方法PMV0PyyEIMPy0UV外荷势能的变化应变能的变化静力法：据假设①、②、③，有：Nyzll△aadydsdzds-dzds如图，lcrcrdzdsVNN)(lcrdzdzN)cos(dzlcrN)cos1(cos1dzlcrN22cos1sin2据假设③，有：1costgtg2122sindzdytgdzVlcrdzdyN)21(22lcrdzyN)(22而故：杆件应变能包括弯曲应变能和剪切应变能变形由两部分组成，y1由M引起，y2由V引起，Vg1称为剪切角，g1称为单位剪切角。y1y2NyzVg1dzVdzEIMUll222yMNcrydzdMVNcr11yVNcrllcrcrdzNdzEINUyy2222221应变能为：式中：剪切角：故：lllcrdzdzEIdzyyyN)()(21221U0UV将V、代入中整理得：上式仅当σcr≤fp时，才正确。当σcrfp时，钢材进入弹塑性阶段，应采用切线模量理论更合适，lzyymsin代入上式整理后得：1222211llNEIEIcr符合边界条件据假设④，令lNEIcr22得：ilAIi22EANcrcr、即：22Ecr对于实腹式截面，剪切应变能所占比例较小，可忽略σεatga=Et画出临界应力和长细比的关系（称为柱子曲线）若材料为理想弹性－塑性体EEtEt：对应于临界应力的切线模量经实验验证EffffEppyyt)()(λσcrfp22Ecr22EcrfpE式中：fpcrE22fpE若：则：σεfyλσcrfy22EcrfEy即：则：构件截面有两根主轴（x轴、y轴），因而弯曲屈曲可能在两个主轴方向发生，临界应力分别为：若λx=λy，即两主轴方向弯曲屈曲临界应力相等，称为轴心受压构件在两主轴方向等稳定。那么λx=λy就称为绕两主轴等稳定条件。条件：截面绕两主轴为同一类截面xEcrx22yEcry22则σcrx=σcry二.扭转屈曲1.剪切中心（弯曲中心）梁受横向荷载时，截面会产生剪应力薄壁截面梁剪应力的计算宜用剪力流理论，认为剪应力沿板件厚度均布，方向与各板件平行。与材料力学的计算方法相比较，薄壁构件腹板上剪应力的计算是相同的，但在计算翼缘剪应力时，无论大小和方向都有质的区别。计算翼缘时，S取计算处以外面积对中和轴的面积矩翼缘中剪应力的合力为零，故腹板中剪应力的合力即为全截面剪应力的合力，此合力通过截面形心。若梁受的横向荷载也通过形心（实质是通过剪切中心），则梁只产生弯曲。由计算tIVSx沿截面宽度均布若荷载平行于y轴作用,上翼缘和下翼缘中的剪力和均为H，形成一个力偶Hh。整个截面剪力和为V(实际上是腹板的剪力和)，平行于y轴。若不产生扭矩，需S为剪切中心，若实际外力通过剪切中心，不会产生扭矩，否则，有扭矩产生。注意：剪心仅与截面有关，是截面特性，与外荷无关。τf1btehHHVS0VeHh121fbtHIhtbHVhex422而故：)2(21hbttIVbtxIthbVx42常用截面剪切中心的位置：ⓐ双轴对称截面，剪切中心与形心重合；ⓑ单轴对称截面，剪切中心在对称轴上，具体位置通过计算确定；ⓒ矩形板中线相交于一点的截面，剪切中心在交点。2.扭转的形式荷载作用线未通过剪切中心时，产生的扭转分为自由扭转和约束扭转。非圆截面扭转时，原来为平面的横截面不再成为平面，有的凹进而有的凸出，这种现象称为翘曲。如果扭转时轴向位移不受任何约束，截面可自由翘曲，称为自由扭转或圣维南扭转（纯扭转）。CSCSSCSCSCMtMt自由扭转时，各截面的翘曲变形相同，纵向纤维保持直线且长度不变，截面上只有剪应力，无纵向正应力。如果由于支承情况或外力作用方式使构件扭转时截面的翘曲受到约束，称约束扭转（弯曲扭转）。约束扭转时，构件产生弯曲变形，截面上将产生纵向正应力，称翘曲正应力。由此伴生的弯曲剪应力，称为翘曲剪应力。①开口薄壁构件的自由扭转自由扭转时截面上的剪力流沿壁厚方向线性变化，在壁厚中部剪应力为零，在两壁面处达最大值τ1，方向与壁厚中心线平行。zyxMztwtw1根据弹性力学理论，作用在构件上的自由扭矩Mt为：式中：Mt：作用扭矩；φ：截面的扭转角；φ'：单位长度的扭转角，即扭转率；It：截面的抗扭惯性矩，又称扭转常数。当截面由几个狭长矩形板组成时，It由下式计算：式中：bi、ti：任意矩形板的宽度和厚度；k：考虑热轧型钢在板件交接处凸出部分的有利影响，其值由试验确定。角形截面k＝1.0；IGMttG：剪切模量；tbIiniitk313槽形截面k＝1.12；工字形截面k＝1.25；T形截面k＝1.25。②闭口薄壁构件的自由扭转沿构件截面成封闭状，沿壁厚均匀分布，方向与截面中心线相切。ρ为剪力中心至微元段ds的中心线的距离，为截面中心线所围面积A的2倍经计算，闭口截面的抗扭能力较开口截面大的多。GtItMttttdstoMt剪力流的分布如图，dsttdsMtdstAMt2AtMt2则：或：最大剪应力为：总扭转力矩为：τt为常数。③开口薄壁截面构件的约束扭转悬臂端截面可自由翘曲，而固定端截面完全不能翘曲，中间各截面受到不同程度的约束。截面翘曲剪应力形成翘曲扭矩，再加上自由扭转产生的扭矩，与外扭转相平衡。该式适用于各种截面形式，不同截面不同。：称为翘曲惯性矩（扇性惯性矩或翘曲常数）式中：：一个翼缘对腹板轴的惯性矩。MMMtTzyxMz即约束扭转平衡微分方程：II221hII工字形截面：I1IEIGt3.轴压柱的扭转屈曲当构件截面抗扭刚度（GIt）不足时，轴压杆除可能发生绕两主轴的弯曲屈曲外，还可能发生扭转屈曲。一般轴压杆很难发生单纯的扭转屈曲，双轴对称截面易发生，特别是十字形截面。（前面要求十字形截面λx≥5.07b/t，λy≥5.07b/t，目的是防止扭转屈曲。）临界状态：当荷载达到临界力时，构件由直杆平衡状态转变为绕纵轴微扭的平衡状态，这时杆件截面的抗扭矩与外力扭矩平衡。列出扭转微分方程，求解出扭转屈曲临界力。在轴心压杆扭转屈曲的计算中，可采用扭转屈曲临界力与欧拉力相等的条件得到换算长细比λz。λz：扭转屈曲的换算长细比式中：i0：截面对剪心的极回转半径e0：截面形心至剪切中心的距离lw：扭转屈曲的计算长度，两端铰接端部截面可自由翘曲lw＝l两端嵌固端部截面受到完全约束lw＝0.5l知λz后就可据弯曲屈曲的柱子曲线获得φ值7.25220IlIiAtwwziiiyx2220IIiAyx20iieiyx222020单轴对称截面：双轴对称截面：三.弯扭屈曲单轴对称截面受轴心压力N，作用于截面形心。绕x轴弯曲时，产生水平剪力Vy，通过剪切中心S，仅产生弯曲，不会扭转。绕y轴弯曲时，产生水平剪力Vx，通过形心C，而不通过剪切中心S，由此形成一个扭矩Vxa，弯曲的同时伴有扭转，弯扭屈曲。由此看出剪切中心与形心不重合，易发生弯扭屈曲，即单轴对称截面易发生弯扭屈曲。列出弯扭屈曲微分方程，可求出弯扭屈曲的临界力，计算过程复杂。«规范»将完全弹性的弯扭屈曲临界力与欧拉临界力相比较，得到换算长细比λyz。λyz：计及扭转效应的换算长细比。VyVxxyCSa知λyz后就可据弯曲屈曲的柱子曲线获得φ值。对于单角钢及轧制或焊接T形截面，工程中认为＝0；由双角钢组成的T形截面可近似认为＝0。λy：构件对对称轴的长细比2220202222221)1(4)()(21zyzyzyieyz725220IlIiAtwwz式中：IIIAitz007.5iieiyx222020则λz简化为：对单角钢截面和双角钢组合T形截面λyz简化为：①等边单角钢截面式中：b、t分别为角钢肢的宽度和厚度②等边双角钢截面btbloy54.0)85.01(224tlboyyyzbloy54.0tby)5.131(78.4422btloyyztb当当时，时，btbloy58.0当当时，时，)475.01(224tlboyyyz)6.181(9.3422btloyyztbtbbloy58.0y③长肢相并的不等边双角钢截面式中：b1、b2分别为不等边角钢长肢、短肢宽度。④短肢相并的不等边双角钢截面以上每种情况中，前式适用时，弯曲是主导变形；后式适用时，扭转是主导变形。y)09.1