22平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【知识提炼】1.平面向量数量积的定义条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量____________叫向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作_____，即_________________规定零向量与任一向量的数量积为__|a||b|cosθa·ba·b=|a||b|cosθ02.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为_________；②a在b的方向上的投影为_________.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与____________________________的乘积.|b|cosθ|a|cosθb在a的方向上的投影|b|cosθ3.向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a⊥b⇔_______.(2)当a∥b时，a·b=(3)a·a=____或_________.(4)cosθ=______.(5)|a·b|___|a||b|._______，当a，b同向时，_________，当a，b反向时.a·b=0|a||b|-｜a||b||a|2aaa||||abab≤4.向量数量积的运算律(1)a·b=_____(交换律).(2)(λa)·b=_________=_________(结合律).(3)(a+b)·c=_________(分配律).b·aλ(a·b)a·(λb)a·c+b·c【即时小测】1.思考下列问题.(1)两个向量的数量积仍然是向量吗？提示：不是.两个向量的数量积是数量.(2)设a与b的夹角为θ，cosθ0⇔a·b0对吗？提示：正确.因为cosθ=0，故a·b0.||||abab2.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为45°，则m·n=()A.12B.12C.-12D.-12【解析】选B.m·n=|m||n|cos45°=4×6×cos45°=24×=12.222223.已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上的投影是________；e在a方向上的投影是________.【解析】a在e方向上的投影为|a|cos=e在a方向上的投影为|e|cos=答案：-2-23232314()2.2111().2212【知识探究】知识点1平面向量的数量积的概念及其几何意义观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：向量的数量积是数量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素是什么？问题2：向量数量积a·b中“·”能否省去？【总结提升】对数量积概念的两点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角.(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略.知识点2平面向量数量积的几何意义观察图形，回答下列问题：问题1：a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影相同吗？问题2：向量b在向量a上的投影是数量，还是向量？【总结提升】理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积.其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的.(2)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可正，可负，也可为零.aba【题型探究】类型一向量数量积的运算【典例】1.已知a与b的夹角为θ=150°，且|a|=3，|b|=4.则(1)a·b________.(2)(a-b)2________.(3)(a+b)·(a-2b)=________.2.设正三角形的边长为，求a·b+b·c+c·a.ABBCCA，，，cab3【解题探究】1.典例1中求数量积问题的关键是什么？提示：求数量积的关键是确定向量的模及向量的夹角.2.典例2中a与b，b与c，c与a的夹角为多少？提示：a与b，b与c，c与a的夹角均为120°.【解析】1.(1)a·b=|a||b|cos150°=-6.(2)(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=25+12.(3)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=9+6-32=-23+6.答案：(1)-6(2)25+12(3)-23+62.因为三角形为等边三角形，所以|a|=|b|=|c|=，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°.a·b+b·c+c·a=××cos120°×3=-.333333333392【方法技巧】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.【变式训练】(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=()【解析】选D.由菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°得∠BCD=120°，∠ABD=30°，在△BCD中，由余弦定理得BD=a，所以BDCD22223333A.aB.aC.aD.a24423BDCDBDBA2333aacos303aaa.22【补偿训练】已知|a|=4，|b|=5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．【解题指南】a∥b时其夹角为0°或180°，a⊥b时其夹角为90°，将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可．【解析】(1)因为a∥b，若a与b同向，则θ=0°，所以a·b=|a||b|cos0°=4×5=20；若a与b反向，则θ=180°，所以a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时，θ=90°，所以a·b=|a||b|cos90°=0.(3)当a与b夹角为60°时，a·b=|a||b|cos60°=4×5×=10.12类型二与向量模有关的问题【典例】1.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为，则|a+b|=_____，|a-b|=________.2.(2015·福州高一检测)已知向量a与b夹角为45°，且|a|=1，|2a+b|=，则|b|=________.310【解题探究】1.典例1中，要求|a+b|和|a-b|应先求什么？提示：先分别求|a+b|2、|a-b|2，将模的计算转化为数量积的问题．2.典例2中条件|2a+b|=，如何变形可以将a与b的夹角、|a|和|b|联系起来.提示：将|2a+b|=两边平方可得(2a+b)2=10，展开后可以将a与b的夹角、|a|和|b|联系起来.1010【解析】1.因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos所以|a+b|=答案：2532，2222ababab2222525255322525255.，abababab5352.因为|2a+b|=，所以(2a+b)2=10，所以4a2+4a·b+b2=10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1，所以4|a|2+4|a||b|cos45°+|b|2=10，故4×12+4×1×|b|×+|b|2=10，整理得|b|2+2|b|-6=0，解得|b|=或|b|=-3(舍去).答案：10222222【延伸探究】1.(变换条件)若把典例1条件“a与b的夹角为”改变为“a与b的夹角为”，则结果如何？【解析】方法一：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，a·b=0，所以方法二：若a与b的夹角为，所以以a与b为邻边的平行四边形为正方形.所以|a+b|=|a-b|=32222222252252.，abababababababab2225552.2.(改变问法)典例1在条件不变的情况下，求的值？【解析】2|2|abab22222222447521.27175442ababaabbabaabbab【方法技巧】求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2=a2±2a·b+b2，(a+b)·(a-b)=a2-b2等.2a【补偿训练】已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根，且a2=4，a与b的夹角θ为120°.求：(1)向量b的模.(2)向量λb的模.【解析】(1)因为a2=4，所以|a|2=4，即|a|=2.把x=1代入方程x2+|a|x+a·b=0，得1+|a|+a·b=0，所以a·b=-3.所以a·b=|a|·|b|·cosθ.=2|b|cos120°=-3，所以|b|=3.(2)由(1)知|b|=3，|λb|=|λ|·|b|=3|λ|.类型三两个向量夹角和垂直问题【典例】1.已知|a|=1，|b|=4，(a-b)·(a+2b)=-29，则a与b的夹角θ=________.2.已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.【解题探究】1.典例1中，若求a与b的夹角θ，还需要什么？提示：需要利用(a-b)·(a+2b)=-29，求出a·b.2.典例2中，a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直能得出哪些结论？提示：可以得出3(75)04(72)0.，abababab【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b，所以-31+a·b=-29，所以a·b=2，所以cosθ=又因为0≤θ≤π，所以θ=.答案：21.||||142abab332.由已知条件得即②-①得23b2-46a·b=0，所以2a·b=b2，代入①得7a2+8b2-15b2=0，整理得a2=b2.所以|a|=|b|，所以cosθ=因为0≤θ≤π，所以θ=.3(75)04(72)0.，abababab222271615073080，①，②aabbaabb22112.||||2bababb3【延伸探究】将典例1中条件改为|a|=1，|b|=4，a与b的夹角为120°，且a+kb与a+2b互相垂直，求k的值.【解析】由a+kb与a+2b垂直，则(a+kb)·(a+2b)=0，即a2+2kb2+(k+2)a·b=0，由题意得1+32k-2(k+2)=0，解得k=.110【方法技巧】求向量a与b的夹角的思路(1)求向量夹角的的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.||||abab【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足且(a-b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为()【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算，然后求出夹角.223，|a||b|3A.B.C.D.424【解析】选A.设a与b的夹角为θ，因为(a-b)⊥(3a+2b)，所以(a-b)·(3a+2b)=3|a|2-2|b|2-a·b解得cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以θ=.223，|a||b|2228222cos033，bbb224【补偿训练】设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角．【解析】由|m|=1，|n|=1，其夹角为60°，得m·n=.因为所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=-