4线性连续系统的能控性.ppt

Ch.4线性系统的能控性和能观性本章简介本章简介•本章讨论线性系统的结构性分析问题。–主要介绍•动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质----状态能控性和能观性,以及•这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换中的应用,•并引入能控规范形和能观规范形,•以及实现问题与最小实现的概念。–本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题的程序设计与计算。目录4.1线性连续系统的能控性•4.2线性连续系统的能观性•4.3线性定常离散系统的能控性和能观性•4.4对偶性原理•4.5线性系统的结构性分解和零极点相消•4.6能控规范形和能观规范形•4.7实现问题•4.8Matlab问题•本章小结概述•本章讨论线性定常系统的定性分析--结构性问题和系统综合问题,主要内容有:–结构性问题--能控性、能观性、对偶原理–结构分解–能控规范形和能观规范形–系统实现–系统综合问题--状态反馈和状态观测器•动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。–卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。–系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。状态n维x(t)r维u(t)m维y(t)能控?能控?–能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。状态x(t)u(t)y(t)能观测?为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?•这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。–因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。•反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。–此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。•否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。•因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。–所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。•现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。–状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。–此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。线性连续系统的能控性4.1线性连续系统的能控性•本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问题。–关键问题:1.基本概念:状态能控性和输出能控性2.基本方法:状态能控性和输出能控性的判别方法3.状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义线性连续系统的能控性•本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义,然后再引出状态能控性的定义。–下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性严格定义的确切含义是有益的。•本节讲授顺序为:–能控性的直观讨论–状态能控性的定义–线性定常连续系统的状态能控性判别–线性定常连续系统的输出能控性–线性时变连续系统的状态能控性能控性的直观讨论4.1.1能控性的直观讨论•状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。–如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的,•或者更确切地说,是状态能控的。–否则,就称系统为不完全能控的。•下面通过实例来说明能控性的意义。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。能控性的直观讨论•例某电桥系统的模型如图4-1所示。uR+++--C1C2x1x2-RRR图4-1电桥系统能控性的直观讨论•由电路理论知识可知,–若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。uR+++--C1C2x1x2-RRR若图4-1所示的电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。能控性的直观讨论•由状态空间模型来看,–当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:2221111111xRCxuRCxRCxuR+++--C1C2x1x2-RRR由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。能控性的直观讨论•例：给定系统的状态空间模型与结构图分别为uxxxxx212112本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-22x1x1/syu能控性的直观讨论•例：给定系统的状态空间模型为uxxxuxxx21221122由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。能控性的直观讨论•因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。•所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。•对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。–下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能控性的充要条件。状态能控性的定义4.1.2状态能控性的定义•由状态方程x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第3章的状态方程求解公式可知,–状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。–因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。•对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。状态能控性的定义—能控性定义态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控;–若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控;定义4-1若线性连续系统x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个控制量u(t),能在有限时间[t0,t1]内把系统状x2x10x(t0)x(t0)x(t0)状态能控性的定义—能控性定义–若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。•即,若逻辑关系式t0Tx(t0)t1T(t1t0)u(t)(t[t0,t1])(x(t1)=0)为真,则称系统状态完全能控。–若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。•即,若逻辑关系式t0Tx(t0)t1Tu(t)(t1t0)(t[t0,t1])(x(t1)0)为真,则称系统状态不完全能控。状态能控性的定义•对上述状态能控性的定义有如下讨论:1.控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。•对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。•对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全能控,则系统状态完全能控”。•即,若逻辑关系式t0Tx(t0)t1T(t1t0)u(t)(t[t0,t1])(x(t1)=0)为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。状态能控性的定义2.在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。•如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。•u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3.在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。•在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。线性定常连续系统的状态能控性判据4.1.3线性定常连续系统的状态能控性判别•线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的–代数判据和–模态判据。代数判据—代数判据定理1.代数判据•定理4-1(线性定常连续系统能控性秩判据)线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立:1.矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得fe-AtB02.如下定义的能控性矩阵Qc=[BAB…An-1B]满秩,即rankQc=rank[BAB…An-1B]=n□证明如下:对于线性定常系统,由能控性定义可知,其状态能控性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。根据第3章中状态方程解的表达式,有代数判据(2/18)—代数判据定理证明•证明在证明能控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状态完全能控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制输入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexex代数判据—代数判据定理证明•由能控性的定义有,若能控,则应存在t1(t10)和分段连续的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)()dtABxeu因此,线性定常系统状态能控的充必条件为:上述方程对任意的x(0)有输入u(t)的解。下面将利用该方程分别证明判别状态能控性的上述两个充要条件。代数判据(1)先证明条件1。–先证充分性(条件结论)。•即证明,若e-AtB的各行函数线性独立,则系统状态能控。–用反证法证明。•设状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立。–充分性反证法的思路为:状态不能控能控子空间为状态空间的维数小于n的线性子空间存在状态空间中的非零向量垂直于能控子空间e-AtB的各行函数线性相关与假设矛盾,充分性得证代数判据(5/18)证明过程:状态不能控,则意味状态能控子空间(可证明为线性空间)rtActtBRR)(,0,d)()()(101uue0x0x比状态空间Rn小,属于Rn空间的一个子空间,其维数小于n。对维数小于n的能控子空间Rc,一定存在一个n维的非零向量fRn,且在n维线性空间中与Rc垂直(或称正交),即fx(0)=0x(0)Rc因此,由Rc的定义,可得rtAttBRf)(,00d)(101uue代数判据上式对于任意时间t1和任意r维空间中的输入向量u(t)都恒成立,则有fe-AtB0t0对非零向量f,上式恒成立则意味着e-AtB的各行函数线性相关。这与前面的假设产生矛盾,故原假定状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证。代数