第二章2.2节函数极限与连续函数

§2.2函数极限与连续函数一、函数在一点的极限二、函数极限的性质和运算三、四、函数在无限远处的极限单侧极限五、函数趋于无穷大的情形六、两个常用的不等式和两个重要的极限.00意小就能任意小，并保持任）（，差充分接近只要gttvtt速度问题.1.21)(02的（瞬时）速度，求落体在时刻自由落体运动tgtts时的平均速度到从tt0).(212121)(00202ttgttgtgttv.000时的速度在，这个数值定义为落体）（时，当tgttvtt”即指：）无限趋近于（时，无限趋近于“当.00gttvtt一、函数在一点处的极限任意小表示AxfAxf--)(,)(的过程表示00,0xxδxx-.)(Axf无限趋近于确定值问题：x0x0x0x.00程度接近体现的去心邻域，点xxx对应函数值，→=的过程中在函数0xxxfy)(:Def,)(00点本身）有定义的附近（可能除去在点设xxxf时，有当是实数。若对00,0,0xxA记为点的极限在是则称,)(,)(0xxfAAxfAxfxx)(lim0or.)(0）（xxAxf”法“在点，则称质的实数如果不存在具有上述性)(xfA.0极限不存在的x:),0,00δxxxδε-(0.)(εAxf-Axfxx)(lim0→”的含义。）理解“（002xx0000,0xxxxxxxi且）（（去心邻域）}{00xxOx），（解：关于极限定义的几点理.2充分”表明只要时总有）“（xAxfxx)(010.)(0能任意小并保持任意小，就保证了接近Axfx.)3(有关只与εδ的函数的附近的在的极限仅与在总之，xxxfxxf00)()(的情况无关。在的变化有关，而与值0)()(xxfxf的情况无关。在点的极限与在点）它说明（00)()(xxfxxfii其二，的定义域，如可以不属于因为：其一，.1)(0xfx的关系与的定义域，此时，极限可以属于)()(0xfAxfx).()(afAorafA仅有两种：：的几何解释及邻域叙述Axfxx)(lim.30邻域叙述：，邻域的，邻域),(),()(lim000xOxAOAxfxx).,(}{),(00AOxfxxOx）（时，有当几何解释:.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线图形完全落在以直线函数邻域时的去心在当Ayxfyxx☆)(xfyAAA0x0x0xxyo311.lim3.1xxx例1由，即证明：先限定,0.2011xx12231123xxxxxx)422(,14xx).4,1min(.41取得x例2;lim0ccxx(1)00limxxxx→(2)证：(1)0)(ccAxf--，任取δxxxδε00:,0,0-,0δcc-有.lim0ccxx0)(xxAxf--(2),0:,,00δxxxεδε-取0xx-有.lim00xxxx→例3证明：000lim,0xxxxx时当00000)(xxxxxxxxxAxf----≤εAxfε-)(,0要使)20(000xxxxx-,,000xxxx--就有时当00limxxxx},min{,0,0000xxxxxx取且只要-1limxxe0例4证明：)10(,0不妨设)1ln()1ln(,1xex--即要使0)}1ln(),1min{ln(-取证明：.1,0-xex有时当.1lim0xxe即例5证明：4lim22xx31,12xx即证：不妨设-252242---xxxx52,4,02--xx只要要使,20},5,1min{-x当取2542--xx有4lim22xx从而有二、函数极限的性质和运算五种情形。平行地移到其它极限的性质和运算都能讨论之，所有关于函数这里就限相仿的性质和运算，函数极限具有和数列极)(lim0xfxx当，则且，若,0,)(lim)(lim.1Pr00BABxgAxfopxxxx).()(,00xgxfxx有时).(2)(xgBAxf1.函数极限的局部保号性从而有,)(0Bxg,0},min{02,1时当取xx)(2)(xfBAxg有,0:,0,)(lim2020xxxBxgxx由);(20xfABA2)(0BABxg有,0:10xxx从而,)(0Axf,0,2,)(lim100abAxfxx取由证明：00,0,)(lim)(lim.200xxBxgAxfpropxxxx当且，若（反证法）则时，有.),()(BAxgxf00,0),()(lim.30xxBABAAxfpropxx当则且若）（取时，有BxgBxfBxf)().)(()(。时称函数极限的保号性特别，0B定义，证明：根据函数极限的.2)(,0:.0,0101Axfxxx有.2)(,0::,00202Bxfxxx有，对上述时当取0210},,min{xx.1.证之由证：反证法prop用另证：由极限定义，利.,)(lim)(lim.400BABxfAxfpropxxxx且，若2.函数极限的唯一性.0BA，可知可以任意接近于由于BxfAxfBA)()(时，有当若00,0.5xxprop).()()(xhxgxf“两边夹法则”.)(lim,)(lim)(lim000AxgAxhxfxxxxxx则且3.夹逼性质0,)(lim,010Axhxx由证：，有Axhxxx)(,0:10Axh)(从而2020:,0,)(lim0xxxAxgxx由0210:},,,min{xxx取AxhxfxgA)()()(有Axfxx)(lim0即)(,)(xgAAxg从而有AXX:Def）也分，（，上、下界不唯一，0BA,)()(BxfAXxXxf，有对内有界在称内的下界和上界。在分别称为，XxfconstBA)(,别是下界、上界。.,)(constMMxfXx，有对在使得，则（局部有界性）若)(,0)(lim.60xfAxfpropxx.)()(0000内有界，和，在区间xxxx4.局部有界性时，有，当，则证明：取0001xx.1)(1AxfA.1)(1)()(AxfAxfAxf，得或邻域断定函数在相应的某个注：由极限存在，只能在整个定义域内有界，而不能判定它}{),(00xxO，由例例如，内有界（整体有界）。6,11)(3xxxf)1,1()1,1()(,0,63)(lim1和在，由xfpropxfx和在内有界，但)1,()1(111)(23xxxxxxf内无界。，)1(☆且对任何数列）（},{)(lim.70nxxxAxfHeineThprop.limlim00Axfxxxxnnnnn）（，都有，）之定义域内。（在注意，此处要求xfxn5.函数极限与数列极限的关系----海涅定理☆有时当，”对“证明,0,00:0xx,lim,,)(0xxxAxfnnn有又已知，对任意时，有当故对上述NnNxxn,,0,0,)(.00AxfNnxxnn时，有从而，当.)(limAxfnn即,0,0,)(lim00对则”反证法。假设“Axfxx.)(0,00Axfxxx时，有当某个；时，有，取010111)(10,1Axfxxx；时，有，取020222)(210,21Axfxxx；时，有，取00)(10,1Axfnxxxnnnnn,lim),(01,0xxnnxnnnn故有因由此得数列与已知矛盾。但且,)(lim,0Axfxxnnn(1)Prop7表明，函数列极限可化为数列极限，反之亦然。并且，它给出了函数极限存在的充要条件。因此，有关函数极限定理的证明可借助已知相应的数列极限定理予以证明。例如证明Prop5:，且可不妨设，对任意00,}{xxxxxnnn,)(),()()(}{),(00AxfxhxgxfxxOxnnnnn以及，有AxgnAxhnn)(,)(由数列极限性质得）（)7).(()(0propxxAxgn这里两次使用了），因之（注：Prop7的意义(2)应用Prop7可证明某些函数的极限不存在。，且某个数列若00,lim,.1xxxxxCorollarynnnn也不存在极限。在点不存在极限，则而0)()(xxfxfn,lim,.20/xxxxCorollarynnnn且与某两个数列若Bxfxxxxxxnnnnnn)(lim,lim0/0/0，分别有与不存在极限。在点则且与0/)(,,)(limxxfCBCxfnn两个推论☆2,11)1(nnxn证明：取没有极限在证明01sinxx2,1221)2(nnxn例0lim0lim00)2()1()2()1(nnnnnnxxxx，，且，则0sinlim1sinlim)1(nxnnn但1)22sin(lim1sinlim)2(nxnnn.01sin.2没有极限在由推论xx1,3.()0,xDirichletDxRx当是有理数，例证明函数在上每，当是无理数一点都不存在极限。有且取有理数列证明：对,,lim,.000xrxrrRxnnnn有且取无理数列,,lim,;1)(lim00xsxssrDnnnnnn的点的极限不存在。由在由此，00)(.0)(limxxxDsDnn。上每一点都不存在极限在任意性，RxD)(则若运算法则,)(lim,)(lim.100BxgAxfxxxx,)]()([lim0BAxgxfxx,)()(lim0ABxgxfxx.0)()(lim0）（BBAxgxfxx推广至有限多个情形.1何？条件不成立时结论如.2，有且，对任意证明：由00,lim,7xxxxxpropnnnn而由数列除法运算有.)(lim,)(limBxgAxfnnnn.7)()(lim得证，故再由propBAxgxfnnn6.函数极限的运算法则,,)(,0)(lim.2000）在某区间（若运算法则xxxgxfxx.0)()(lim,,000xgxfxxxx则）有界（.0,)()(MMxgxg在给定区间内有界，有证明：由已知，101000)(0)(0xxxxxf，当，，由对时，，则当取时，有*01*0),min(.)(xxxf.)()()()(Mxgxfxgxf有014.limsin0,xxx例则，且）若例如：（,)(lim,)(limBABxgAxfixx.66.).()(0PxgxfXxX时，有，当）内有界，