第3章 可线性化的非线性回归模型

第3章可线性化的非线性回归模型张晓峒南开大学数量经济研究所教授、所长中国数量经济学会副理事长[e-mail]:li-3-1file:li-3-2file:li-3-3file:li-3-4file:li-3-5file:li-3-6file:li-3-7file:case3-1file:case3-2file:case3-3第3章可线性化的非线性模型3.1可线性化的7种非线性函数3.2可线性化的非线性模型综合案例3.3可线性化的非线性模型一览表第3章可线性化的非线性回归模型第1、2章介绍了线性回归模型。实际中经济变量之间也可能存在非线性回归关系。非线性回归模型可以分为两类，一类是可线性化的非线性回归模型，一类是不可线性化的非线性回归模型。本章重点讨论可线性化的非线性回归模型，即通过适当的变换，把非线性回归模型转化为线性回归模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。共介绍7种典型的可线性化的非线性回归模型。对于那些不可线性化的非线性回归模型，例如tttuxaay110txtueayt10本章不做讨论，但介绍EViews估计命令。也就是说，利用软件，同样可以完成对这类模型的估计与检验。这一节介绍7种可线性化的非线性函数。其中包括幂函数、指数函数、对数函数、双曲线函数、多项式函数、生长曲线函数（Logistic）、龚伯斯（Gompertz）曲线函数。在讨论如何把这些非线性函数转化为线性函数的同时，举例介绍应用。(b1)(0b1)(b=-1)(b-1)(0b-1)tubtteaxyb取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为yt*=a*+bxt*+ut变量yt*和xt*之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。3.1可线性化的7种非线性函数3.1.1幂函数模型案例：柯布-道格拉斯生产函数是怎样产生的。Murray-book第5章(file:cobbdouglas)1928年，阿默斯特学院的查尔斯柯布和芝加哥大学的保罗道格拉斯利用1899至1922年的美国数据共同研究了生产理论，尽管道格拉斯后来成为参议员，但他得以成名的还是柯布-道格拉斯生产函数：产出=(劳动)β1(资本)β2。取对数，重新写为ln(产出)=ln()+β1ln(劳动)+β2ln(资本)ln(产出)=-0.1773+0.8073ln(劳动)+0.2331ln(资本)(-0.4)(5.6)(3.7)R2=0.96,DW=1.52,T=24,(18991922)β1+β2=1的检验结果是p=0.66，接受原假设，为规模报酬不变型。4.44.64.85.05.25.45.64.54.64.74.84.95.05.15.25.35.4LOG(LABOR)LOG(OUTPUT)4.44.64.85.05.25.45.64.44.64.85.05.25.45.65.86.06.2LOG(CAPITAL)LOG(OUTPUT)8012016020024028080100120140160180200220LABOROUTPUT8012016020024028080120160200240280320360400440CAPITALOUTPUTCobb-Douglas生产函数（二元幂函数）Q=kLC1-其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；01。更习惯的表达形式是yt=tuttexx21210上式两边同取对数，得：Lnyt=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut取yt*=Lnyt,0*=Ln0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2，有yt*=0*+1xt1*+2xt2*+ut上式为线性模型。用OLS法估计后，再返回到原模型。对于对数线性模型，Lny=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut，1和2称作弹性系数。1=1ttLnxLny=1111ttttxxyy=11//ttttxxyy=11ttttxyyx可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。以1为例，1=1ttxy边际系数是弹性系数的一个分量。柯布（C.W.Cobb）道格拉斯(PaulH.Douglas)例3-1（数据见EViews、STATA文件：li3-1）台湾19581972年农业生产总值（yt），劳动力投入（xt1），资本投入（xt2）数据见表3-1。应用柯布−道格拉斯生产函数模型评价台湾农业生产效率。用样本得估计模型如下，tLny=-3.4+1.50Lnxt1+0.49Lnxt2(-1.4)(2.78)(4.80)R2=0.89,T=15还原后得，tyˆ=0.713xt11.50xt20.49(3-8)因为1.50+0.49=1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。9.69.810.010.210.45.585.605.625.645.665.685.705.725.74LOG(Y)LOG(X1)9.69.810.010.210.49.69.810.010.210.410.610.8LOG(X2)LOG(Y)3.1.2指数函数模型指数函数定义如下：tbxtaeyb0和b0两种情形的函数曲线以及散点图分别见图3-3和3-4。xt和yt呈指数函数关系，是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得012345678255075100125150175200XY-0.20.00.20.40.60.81.0255075100125150175200XY图3-3yt=ttubxae,(b0)图3-4yt=ttubxae,(b0)Lnyt=Lna+bxt(3-9)令Lnyt=yt*,0=Lna,1=b，则yt*=0+1xt(3-10)变量yt*和xt已变换成为线性关系。把上式表示成回归模型的形式，Lnyt=Lna+bxt+ut(3-11)即yt*=0+1xt+ut其中0=Lna,1=b为待估回归系数，ut表示随机误差项。只要ut满足第1章给出的假定条件，那么，就可以对式（3-11）采用OLS法估计回归参数。例3-2（数据见EViews、STATA文件：li3-2）中国税收（Tax）增长的定量分析19902006年中国税收（Taxt，亿元）数据见表3-2。中国税收序列图和对数的中国税收序列图见图3-5和3-6。中国税收序列对时间呈指数函数变化特征（图3-5）。对中国税收取对数后与时间呈线性函数变化特征（图3-6）。010,00020,00030,00040,000048121620TTAX7.58.08.59.09.510.010.5048121620TLOG(TAX)图3-5中国税收序列图图3-6对数的中国税收序列图尝试建立半对数模型，tLnTAX=7.7166+0.1589t(3-14)(393.1)(82.9)R2=0.998,T=17,(19902006)因为解释变量是时间t，所以回归系数0.1589近似测量的是中国税收的年增长率，即19902006年中国税收的年平均增长率近似是15.89%。式（3-14）的EViews9估计命令：log(TAX)c@trend(1989)3.1.3对数函数模型对数函数定义如下：yt=a+bLnxt(3-15)令xt*=Lnxt，0=a，1=b，则式（3-15）改写为yt=a+bxt*=0+1xt*(3-16)变量yt和xt*，即yt和Lnxt已变换成为线性关系。把上式表示为回归模型形式，yt=0+1xt*+ut=0+1Lnxt+ut(3-17)其中a=0，b=1为待估回归系数，ut表示随机误差项。只要ut满足第1章给出的假定条件，那么，就可以对式(3-17)采用OLS法估计回归系数。-10123456255075100125150175200XY1234567255075100125150175200XY图3-7yt=a+bLnxt+ut,(b0)图3-8yt=a+bLnxt+ut,(b0)例3-3（数据见EViews、STATA文件：li3-3）中国城镇居民家庭人均食品支出与可支配收入的关系。19852005年28个省级地区城镇居民人均食品支出（yt）与可支配收入（xt）散点图如图3-9。010002000300040005000040008000120001600020000YX5.56.06.57.07.58.08.59.01.801.851.901.952.002.052.102.152.202.252.30Ln(Ln(x)(Ln(y)图3-9人均食品支出yt与可支配收入xt散点图图3-10Lnyt和LnLnxt散点图进一步观察Lnyt和LnLnxt的散点图，如图3-10。Lnyt和LnLnxt存在满意的线性关系，同时，不存在异方差（第5章介绍）。所以讨论建立模型时，应该建立关于Lnyt和Lnxt的对数函数模型。首先用数据估计模型。得回归结果如下，tLny=-5.8117+6.2072LnLnxt（3-19）（-61.7）（137.3）R2=0.97,T=588式（3-19）的EViews9估计命令：Log(y)clog(log(x))3.1.4双曲线函数模型双曲线函数定义如下：yt=a+b/xt(3-20)xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，0=a，1=b，得yt=a+bxt*=0+1xt*(3-21)上式已变换成线性函数。把上式表达为回归模型形式，yt=0+1xt*+ut=0+11/xt+ut(3-22)其中a=0,b=1为待估回归系数，ut是随机误差项。只要ut满足第1章给出的假定条件，那么，就可以对式（3-22）采用OLS法估计回归系数。图3-11yt=a+b/xt,(b0)【双曲线函数回归模型的EViews9估计命令】yc1/x0246810255075100125150175200XY双曲线函数也可以写成，1/yt=a+b/xt(3-24)或yt=1/(a+b/xt)(3-25)b0情形的双曲线函数曲线见图3-12。为了对模型进行随机性描述，将上式写为回归模型，1/yt=a+b/xt+ut(3-26)也可写成，yt=1/(a+b/xt+ut)(3-27)xt和yt的关系是非线性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，由式（3-26）得回归模型形式，yt*=a+bxt*+ut只要ut满足第1章给出的假定条件，那么，就可以对上式采用OLS法估计回归参数。式（3-26）也称作双倒数模型。图3-12yt=1/(a+b/xt),(b0).0.1.2.3.4.5.6.7.8255075100125150175200XY例3-4（数据见EViews：li3-4）炼钢厂钢包容积与相应使用次数的关系研究。炼钢厂钢包容积yi与相应使用次数xi散点图见图3-13。67891011024681012141618XY67891011.0.1.2.3.4.5.61/XY图3-13yt与xt散点图图3-14yt与1/xt散点图从散点图分析，该关系是非线性的。试建立双曲线函数（图3-14）、对数函数（图3-15）、双倒数函数线性化散点图（图3-16），图3-14对数据的线性化程度最好，双曲线函数模型估计结果如下：ttxy18291.94687.11ˆ(3-28)(125.8)(-21.3)R2=0.9721,T=153.1.5多项式方程模型3次多项式函数的表达式是yt=0+1xt+2xt2+3xt3(3-29)令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=0+1xt1+2xt2+3xt3(3-30)这是一个3元线性函数。为了对模型进行随