第七章 刚体的平面运动

本章内容§7.1刚体平面运动的描述§7.2平面图形上各点的速度§7.3平面图形上各点的加速度刚体的平面运动是工程机械中较常见的一种运动，是一种较为复杂的运动。对它的研究是在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将其分解为上述两种基本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。§7.1刚体平面运动的描述刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。一．平面运动的定义刚体的平面运动可以看作为平移与转动的合成，也可看作为绕不断运动的轴的转动。例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。用一个平行于固定平面Ⅰ的平面Ⅱ截割刚体，得平面图形S。当刚体运动时，图形内任意一点始终在自身平面内运动。于是，平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。二．平面运动的简化当刚体作平面运动时，直线A1A2作平移点A可代表直线A1A2的运动直线B1B2作平移点B可代表直线B1B2的运动B1BB2为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，只需确定平面图形内任意一条线段的位置．三．平面运动方程平面运动方程)(1otfx)(2otfy)(3tf对于每一瞬时t，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。,,ooyx任意线段的位置可用点的坐标和与x轴夹角表示。因此图形S的位置决定于三个独立的参变量。所以,,ooyxMOMOO四．平面运动分解为平移和转动当图形S上角不变时，则刚体作平移。当图形S上点不动时，则刚体作定轴转动。O故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成运动,即随同的平移和绕点的转动。OO例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢（车轴）的平移和相对车厢（车轴）的转动的合成。车轮对于定系的平面运动（绝对运动）车厢（动系O‘xy)相对定系的平移（牵连运动）车轮相对车厢（动系O'xy）的转动（相对运动）我们称动系上的原点O'为基点。绕基点O'的转动车轮的平面运动刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动。结论：随基点的平移O例如:平面图形Ｓ在t时间内从位置I运动到位置II21以A为基点:随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'1以B为基点:随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'221因为：ABA'B''A''B'，所以：,limlim20Δt10Δttt;21,ttdddd21平面运动随基点平移的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的）。基点的选取是任意的(通常选取运动情况已知的点作为基点)。结论：曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解A作圆周运动，B点作直线运动，若分别取两点为基点，则牵连运动规律不同，即平移的速度、加速度不同，但相对运动规律相同。§7.2平面图形上各点的速度根据速度合成定理,reavvv则M点速度为：OMOMvvv一、基点法则动点M的运动可视为随同基点O’点的平移（牵连运动）和绕基点O’点的圆周运动（相对运动）的合成。MOMOvOM⊥方向的大小：,指向与转向一致．可取O'为基点,将动系固结于O'点,动系作平移。已知：图形S内一点O'的速度，图形角速度，求：OvMvvO'vMO'vM;Mv=va;′Ov=ve,′OMv=vr结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。取点A为基点，则点B的速度为BABAvvv根据这个结论，平面图形内任意两点的速度必存在一定的关系。其中ABvBA方向垂直AB。这种求解速度的方法称为基点法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。AvABvBAvBvA同一平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。()()BABAABvv速度投影定理：这种求解速度的方法称为速度投影法．二．速度投影法由于A，B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有，因此将上式在AB上投影，有BAABvBABAvvvAvABvBAvBvA机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。研究AB，以A为基点，且方向如图示。,lvAllABvllvvllvvBAAB///45tantan)(245cos/cosABAAB（）[例1]已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．根据,BAABvvv在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。1.基点法vAvBvBA解：vAvBvBAABABvv)()(AB根据速度投影定理cosBAvvcosAB/vv不能求出AB研究AB,,方向OA,方向沿BO直线lvABvll245cos/2.速度投影法解：尺AB作平面运动1.基点法BAABvvvcotABvv例2椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及尺AB的角速度。sinABAvv设尺AB的角速度为，则ABvBA所以sinABAlvABvyABoxvAvAvBAvBABABvv)()(AB根据速度投影定理φvφvABcos=sin不能求出AB2.速度投影法cotABvv研究AB，以A为基点。所以则例3如图所示四连杆机构OABO1中，,曲柄OA的角速度ω＝3rad/s。试求当φ＝90°而曲柄O1B重合于O1O的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。ABBOOA21==1机构中,OA、O1B作定轴转动，AB作平面运动。研究AB，以A为基点，速度分析如图示。BAABv+v=v则在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。解：αO1φABOωvAvBAvBαvAOAvA=其中ABωvABBA=BOωvBOB11=3rad/s==30sin==ωABvABvωABAAB5.2rad/s=3=30cot==111ωBOvBOvωABBO各方向如图示（）（）例4：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。求此瞬时点E的速度。vDvBvAvE30º解：杆OA绕O轴转动OAvA由速度投影定理，得ABvv30cosm/s34.032ABvv摇杆CD绕C轴转动，有CDCBvvBD由速度投影定理，得DEvv30cosm/s8.0EvBv3m/s32.1m/s2.0如何解释这种现象？三、速度瞬心法（2）若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．那么，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？1.问题的提出（1）图片点C—称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。2.定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。vAAωMCvAvAvMAvCA证明：过点A作vA的垂线AN。NMAMAvvvAMvvAM随着点M在AN上的位置不同，vM的大小也不同。因此可找到一点C,该点的瞬时速度等于零。如令AvAC0ACvvAC取点A为基点，则AN上点M的速度为3.平面图形内各点速度及其分布DACB点C为速度瞬心，即vC=0。取点C为基点，则A,B,D各点的速度ACACACvvvvBCBCBCvvvvDCDCDCvvvv由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心瞬时转动的速度。,ACvvACA,BCvvBCBDCvvDCDvAvBvD平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。4.几种确定速度瞬心位置的方法（1）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点C为速度瞬心．ABvvvvBABA(a),同向与ABvvvvBABA(b),反向与(a)(b)（2）已知某瞬时A、B两点速度大小,且，则瞬心必在AB的连线与两速度矢的端点连线的交点上。BAvv,,⊥ABvAABvB⊥（3）已知某瞬时平面图形上A,B两点速度的方向，且.BAvv、不平行与BAvv过A,B两点分别作速度的垂线,交点C即为该瞬间的速度瞬心.BAvv、C（4）已知某瞬时A,B两点的速度相等，即。此时,瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平移.(此时各点的加速度不相等)BAvv例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC的运动设匀角速度，则)(2ABaanBB而的方向沿AC，cBaaca此时连杆BC的图形角速度。0BC为瞬时平移．vBvCaBBC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．aC（1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。（2）速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动（3）刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平移。5.注意的问题OOv[例5]沿直线轨道作纯滚动的车轮已知:车轮半径为R，轮心O点的速度为。求:轮缘上点B、C、D的速度。Ov解：车轮作平面运动。接触点A为速度瞬心。)(P0Av车轮的角速度为RvOBvDvCv,2OBvv,2OCvv（1）计算简便ODvv2ABCD（2）速度分布直观瞬心法现在，你能解释这种现象了吗？P机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。[例6]已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．解：vAvBCABlωωBCvABB2==研究AB，已知的方向，因此可确定出C点为速度瞬心BAvv,3.速度瞬心法l=AC,lω=vAωllωACvωAAB=/=/=∴2.速度投影法1.基点法解：尺AB作平面运动1.基点法[例7]椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及尺AB的角速度。yABoxvAvB2.速度瞬心法已知A、B两点速度的方位，分别作A、B两点的速度垂线，sinAAlvACvcotvAABvvACBCBC用瞬心法可以求图形内任意点的速度DCvD两条直线交于点C，C点就是AB尺的速度瞬心。CDvD[例8]图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD//AE,杆AB角速度为=5rad/s。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。ABDEC60o60o解：AB杆，DE杆分别绕A、E轴作定轴转动，BD杆作平面运动。sm51B.lv研究BD杆，其速度瞬心为PvBvDvCDE杆的角速度为：srad5DEBDBDDDEPDDEv则BD杆的角速度为：srad53.05.1BDPBvBP所以C点的速度为：PCvBDCsm299.1233.05sin60BDlDEBD[例9]曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及ABBDDvrad/s103030030nm/s5.11015.0OAvA/sABAPvAABrad16.7376.025.160sin5