吴赣昌编-概率论与数理统计-第1章(new)

概率论与数理统计1经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。2概率论与数理统计——研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。3第1章随机事件及其概率随机事件随机事件的概率古典概型与几何概型条件概率事件的独立性41.1随机事件确定性的——在一定条件下必然发生的现象随机性的——在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)股市的变化。一、随机现象5由于随机现象的结果事先不能预知,初看似乎毫无规律.然而人们发现同一随机现象大量重复出现时,其每种可能的结果出现的频率具有稳定性,从而表明随机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.二、随机试验6历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者nrnrn/nDeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果自身所具有的特征。7为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为E.例如,观察某射手对固定目标进行射击;抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数;记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点:1.可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性:试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知.8E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。E5:从装有三个白球（记号为1,2,3）与两个黑球（记号为4,5）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色；(2)观察两球的号码随机试验的例子随机试验9三、样本空间1、样本空间：由随机试验的所有可能的结果组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为S或Ω；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为e。试给出E1—E5的样本空间10E1:若记ω1=正面，ω2=反面，则样本空间为S={ω1,ω2}E2:S={1,2,3,4,5,6}E3:S={0,1,2,3,…}E4:],0[}0|{ttSE5:(1)若记ω00表示为两个白球，ω11表示为两个黑球ω01表示为一白一黑，则S={ω00,ω11,ω01}(2)若观察取出的两球的号码，则样本点为ωij（取出第i号和第j号球，于是，样本空间有10个样本点，则51ji}51|{jiSij注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要观察的内容来确定的。11四、随机事件在概率论中,把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件。事件可分为以下三类：1.随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C…表示。2.必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。用字母S（或Ω）表示。3.不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集符号Ø表示。例如：在抛掷一枚骰子的试验中，“点数为奇数”就是一个事件，在试验中可能发生也可能不发生。同样，“点数为奇数”与“点数为8”也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是特殊的随机事件。12五、事件的集合表示按定义,样本空间S是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体,故样本空间就是所有样本点构成的集合,每一个样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的,所以一个事件对应于S中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合,它是S的一个子集.于是,任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A、B等表示。称事件A发生，即指属于该事件的某一个样本点在随机试验中出现。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件(或简单事件)。含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。13例1.1袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}而且可得到下列随机事件A={第一次摸得黑球}={(3,1),(3,2)}；B={第一次摸得白球}={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}；C={两次都摸得白球}={(1,2),(2,1)}；D={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}={(1,3),(2,3)}；G={没有摸到黑球}={(1,2),(2,1)}。返回14事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。15六、事件的关系与运算设试验E的样本空间为S,A,B,Ak(k=1,2,…)为事件1.事件的包含“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，称事件B包含事件A,也称事件A包含于事件B。2.A与B两个事件相等：A＝BAB且BA。例1.1163.和事件(p4)：“事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA12”可列个事件A1,A2,…,An…至少有一个发生，记作inA1174.积事件:A与B同时发生，记作A∩B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作nniiAAAA2113”可列个事件A1,A2,…,An,…同时发生，记作nniAAAA211185.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。思考：何时A-B=?何时A-B=A？例1.1中B=C∪DC=B∩CD=B-C196.互斥的事件：AB=Φ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。基本事件是两两互不相容的例1.1中：AB=ΦAC=Φ例1.1207.互逆的事件A∪B＝S,且AB＝ABABABAAAB易见的对立事件，称为记作;A与B对立：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。对立事件必然互不相容，而互不相容事件不一定对立。21注:事件的运算满足如下基本关系:).(;)3(.,,)2(.;;)1(ABABAABABABAAABBBABAASASAAAA则若8.完备事件组设是有限或可数个事件,若其满足:,,,,21nAAA.)2(;,2,1,,,)1(SAjijiAAiiji称是一个完备事件组.,,,,21nAAA22七、事件的运算1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广23例1.2甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：目标”“三人中至多两人命中目标”“三人中至多一人命中“三人均未命中目标”“恰有两人命中目标”标”“至少有一人未命中目”“至少有一人命中目标“恰有一人命中目标”目标”“三人中只有丙未命中标”“甲命中而乙未命中目“甲未命中目标”::::::::::10987654321AAAAAAAAAACBABCACABBACACBCBAABACABCBACBACBACBA;CBA;ABC;CBA或或;ABC24例1.3解设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：BABABABA因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。25例1.4：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。26)13,4()2,4()1,4()13,3()2,3()1,3()13,2()2,2()1,2()13,1()2,1()1,1(解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，…，十点，J，Q，K组成，即可表示为Ω={1,2,…,13}。(2)如果考虑整套牌的花色，样本空间分别包含黑、红、方、草的A，…一直到K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(1,11)，样本空间有52个样本点：27习题：1.(1)丢一颗骰子，其样本空间为.A：出现奇数点，则A=；B：数点大于2，则B=.(2)一枚硬币连丢2次，样本空间为。A：第一次出现正面，则A=；B：两次出现同一面，则B=；C：至少有一次出现正面，则C=.28习题：2.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.(3)A与B都不发生,而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.291.2随机事件的概率一、频率及其性质定义1.若在相同条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数为rn(A)次,则称nArAfnn)()(为事件A发生的频率.频率具有如下的性质(1)对任一事件A，0fn(A)1；(2)对必然事件S，fn(S)＝1；而fn()=0(3)可加性：若事件A1,A2,…,An两两互不相容，则)()()(212!nnnnnnAfAfAfAAAf30二、概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性P(A)应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？311、概率的统计定义定义2.设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为rn(A)，若事件A发生的频率fn(A)=rn(A)/n随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p(0≤p≤1)