本科经济计量学第2章第4版

第2章12.1回归的含义2.2总体回归函数2.3总体回归函数的统计或随机设定2.4随机误差项的性质2.5样本回归函数2.6“线性”回归的特殊含义2.7从双变量回归到多元线性回归2.8参数估计：普通最小二乘法2.9综合2.10一些例子2.11总结回归的含义回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变量explainedvariable或应变量dependentvariable）与另一个或多个变量（称之为解释变量explanatoryvariable或自变量independentvariable）之间关系的一种分析方法。例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。通常我们用Y表示应变量，用X表示自变量。回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一个是自变量是由正确的经济理论决定的。需要注意的是具有因果关系的变量之间一定具有数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不一定具有因果关系。例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。回归分析的应用（1）通过已知变量的值来估计应变量的均值（2）根据经济理论建立适当的假设并对其进行检验（3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测（4）上述多个目标的综合总体回归函数:假想一例下面我们通过一个具体例子说明回归分析的用途。表2-1每周博彩支出和每周个人可支配收入个人可支配收入每周博彩支出消费者1501752002252502753003253503751283335363840424345462273131343637393539403252930313332343133344332728293030313030315232426272829302927286152022262527293330327181820232325263228308121517212222243032319131416182018253132331015101916183223253431均值20.922.124.426.127.329.230.331.933.033.6分析步骤：（1）以个人可支配收入X为横轴，每周博彩支出量Y为纵轴，对表中数据作散点图。（2）分析两变量间的关系（3）做出总体回归直线是参数(parameters)，也称回归系数(regressioncoefficients)。B1又称为截距(intercept)，B2又称为斜率(slope)。斜率度量了X每变动一个单位，Y的条件均值的变化率。iiXBBXYE21)|(Y的条件期望，可简写为E(Y)注意：回归分析是条件回归分析(conditionalregressionanalysis)。(2-1)}u2.3总体回归函数的统计或随机设定随机总体回归方程(stochasticPRF)ui表示随机误差项(randomerrorterm)，简称误差项。iiiuXBBY210150300XY每周个人可支配收入（美元）每周博彩支出（美元）20.902530.324.0}u...(2-2)随机误差项的性质（1）在解释变量中被忽略的因素的影响；（2）变量观测值的观测误差的影响；（3）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些内在随机性；（4）奥卡姆的剃刀原则——“简单优于复杂”。样本回归函数如何估计总体回归函数，即求参数B1、B2呢？前面我们已经介绍了：总体回归函数PRFiiXBBXYE21)|(随机总体回归方程(stochasticPRF)iiiuXBBY21(2-1)(2-2)如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单，但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？、2-3来自表2-1总体的两个随机样本X150175200225250275300325350375做散点图及估计样本回归直线见Excel文件表2-2表2-3来表示：iiXbbY21ˆ(2-3)iiXBBXYE21)|((2-1)随机的样本函数：iiieXbbY21(2-4)iiiuXBBY21(2-2))|(ˆ)|(ˆ21212121(2-3)(2-4)(2-1)(2-2)(2-6)(2-7)线性OLS总结ˆiXBBXYE21|nX需求量价格“线性”回归的特殊含义解释变量线性与参数线性图2-5线性和非线性需求曲线iiXBBYEXBBYE1)()(21221非线性举例：iXBBYE221)(1.解释变量线性例如：2.参数线性非线性举例：例如：a)线性需求曲线b)非线性需求曲线iiXBBY121从双变量回归到多元线性回归多元线性回归：如果博彩支出是收入(X2)、财富(X3)和年龄(X4)的函数，则扩展的博彩支出函数如下：个体博彩支出函数（即随机总体回归函数）为：)X,X,X|E(YE(Y)XBXBXBBE(Y)iiiiii4324433221（2-11）iiiuE(Y)uXBXBXBBYiii3433221（2-12）参数估计：普通最小二乘法普通最小二乘法(OLS)最小二乘原理总体回归方程：样本回归函数：因而[利用(2-3)]最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和(RSS)最小，数学形式为：(2-13)iiiuXBBY21iiieXbbY21iiiiiXbbYYYe21ˆ}min{})ˆ(min{}min{2212iiii2iXbbYYYe达到最小时的参数作为参数估计值的一种方法。利用极值原理可以得到：22121iiiiiiXbXbXYXbnbY2222221XnXYXnYXXXYYXXxyxbXbYbiiiiiiiii(2-16)(2-17)正规方程(2-14)(2-15)求解得到：0ˆ0021iiiiiYeXeneeXbbY普通最小二乘估计量的一些重要性质：（1）（2）（3）（4）综合解得：iiiiiiiiiiiXYXnXYXnYXXXYYXXxyxbXbYb08145.06182.7ˆ2222221利用OLS方法估计样本回归方程，具体计算步骤如表2-4：见Excel文件。iiixyxb6182.75.262*0814545.02921XbYb斜率：截矩：表2-4博彩一例的原始数据及OLS计算步骤（来自表2-2）YiXiXiYiXi平方xiyiyi平方xi平方xiyiYi估计值eiei平方eiXi18150270022500-112.5-1112112656.25123819.8364-1.836433.372-275.464824175420030625-87.5-5257656.25437.521.87282.127194.525372.258826200520040000-62.5-393906.25187.523.90912.090824.372418.163623225517550625-37.5-6361406.2522525.9455-2.945568.676-662.750330250750062500-12.511156.25-12.527.98192.018074.073504.51702727574257562512.5-24156.25-2530.0183-3.018319.110-830.034434300102009000037.55251406.25187.532.05461.945323.784583.5954353251137510562562.56363906.2537534.09100.908940.826295.4065333501155012250087.54167656.2535036.1274-3.127439.781-1094.60124037515000140625112.51112112656.25123838.16381.836193.372688.5724合计2902625803257406250039451562.54200290.00-0.0011951.891-0.3371对博彩支出回归结果的解释对博彩支出的估计结果解释如下：斜率系数0.08145表示，在其他条件保持不变的情况下，PDI每增加一美元，每周平均博彩支出将增加约8每分。截距7.6182表示，当PDI为0时，博彩的平均支出为7.62美元。截距一般没有什么特殊的经济含义。iiXY08145.06182.7ˆ：受教育年限与平均小时工资根据由528个观察值组成的样本，表2-5给出了平均小时工资Y和受教育年限X的数据。根据劳动经济学中的人力资本理论，预期平均工资随受教育年限的增加而增加，二者正相关。数据的回归结果如下：回归结果表明，在其他条件不变的情况下，受教育年限每增加一年，平均小时工资增加72美分。前面已经提到过，在大多数情况下，截距没有什么明显的经济含义，本例亦如此。iiXY7241.00144.0ˆ：奥肯定律：布鲁金斯学会主席，前总统经济顾问委员会主席奥肯（ArthurOkun