本科经济计量学第5章(第4版)

第5章回归模型的函数形式第5章25.1如何度量弹性：双对数模型5.2线性模型与双对数模型的比较5.3多元对数线性回归模型5.4如何测度增长率：半对数模型5.5线性对数模型：解释变量是对数形式5.6倒数模型5.7多项式回归模型5.8过原点的回归5.9关于度量比例和单位的说明5.11不同函数形式模型小结5.12总结第5章3在第2章我们已经讨论了线性回归中“线性”的含义，在本书中我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。本章将特别讨论下面几种形式的回归模型：（1）双对数模型（不变弹性模型）（2）半对数模型（3）倒数模型（4）多项式回归模型（5）零截矩模型这些模型有一个重要特征：它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。第5章45.1如何度量弹性：双对数模型2lnlnln(52)iiYABX2(51)BiiYAX考虑如下形式的支出函数：称其为双对数（double-log)模型或双对数线性(log-linear)模型。两边同取对数，得到：若设B1＝lnA，再在模型中引入随机误差项，得到如下随机模型：12lnln(55)iiiYBBXu第5章5**12(56)tttYBBXu双对数模型是参数线性的，通过简单变换，可将其化为如下模型，即：式（5-5）可变换为：12lnln(55)iiiYBBXu若（5-6）式满足古典线性回归模型的基本假定，则用OLS估计方法得到的估计量是BLUE。第5章6双对数模型有一个非常重要的特性：回归系数B2度量了Y对X的弹性，即X变动1％所引起Y变动的百分比。定义弹性E如下：双对数模型又称为不变弹性模型。对数线性模型的假设检验与一般线性模型相同。YXYXXYXXYYXYE斜率变动的百分比变动的百分比//需求函数及其对数变形后的图形见图5-1a和图5-2b.第5章7图5-1不变弹性模型第5章8例5-1数学S.A.T分数一例在前面的例子中，我们给出了数学S.A.T一例的模型，观察数据散点图，可以看出，数学分数和家庭年收入之间只是近似线性关系的。第5章9下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合这个例子中的数据，情况又会怎样？第5章10OLS回归结果如下(见Eviews操作)：从回归结果看，支出弹性约为0.13，表明家庭年收入每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。另外，r2＝0.9，表明logX解释了变量logY的90％的变动。9005.0)0000.0()0000.0(p)5095.8()074.31()0148.0()1573.0(ln1258.08877.4ln2rtseXYii第5章11双对数模型的假设检验就假设检验而言，线性模型和双对数模型并没有什么不同。在古典线性回归模型的基本假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。如果σ2用其无偏估计量来代替，则每一个估计的回归系数服从自由度为(n-k)的t分布，其中k为包括截距在内的参数的个数。我们可以考察上例中的回归结果。2ˆ第5章12选择模型的规律：（1）根据数据作图，判断模型形式（只适用于双变量情况）。（2）不能简单根据选择模型。要比较两个模型的R2，应变量的形式必须是相同的。（3）可以考虑变量间的相关性、预期的解释变量系数的符号、统计显著性及弹性系数等因素。线性模型的弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对数线性模型在需求曲线上任何一点的弹性系数都相同。5.2线性模型与对数线性模型的比较2R第5章13三变量对数模型：其中，B2、B3又称为偏弹性系数。B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。B3是Y对X3的弹性（X2保持不变）。在多元对数线性模型中，每一个偏回归系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。5.3多元对数线性回归模型12233lnlnln(510)iiiiYBBXBXu第5章14例5-2柯布-道格拉斯生产函数在模型（5-10）中，令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入。这样，式（5-10）就是一个生产函数----反映产出与劳动力和资本投入之间的关系的函数，即柯布-道格拉斯函数（C-D函数）。表5-2给出了1955-1974年间墨西哥的产出Y，（GDP度量，以1960年不变价，单位为百万比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人），资本投入X3（用固定资本度量，以1960年不变价，单位为百万比索）的数据。第5章15表5-2实际GDP，就业人数，实际固定资本——墨西哥年份GDP就业人数固定资产1955114043831018211319561204108529193749195712918787382051921958134705895221513019591399609171225021196015051195692370261961157897952724889719621652869662260661196317849110334275466196419945710981295378196521232311746315715196622697711521337642196724119411540363599196826088112066391847196927749812297422382197029653012955455049197130671213338484677197232903013738520553197335405715924561531197437497714154609825第5章16根据表5-2提供的数据，得到如下回归结果(见Excel文件具体操作)：995.0)000.0()085.0()014.0()06.9()83.1()73.2()09343.0()1857.0()6062.0(ln8640.0ln3397.06524.1ˆln2*32RptseXXYiii（5-11）第5章17VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1.6524190.606198-2.7258730.0144LOG(X)0.3397320.1856921.8295480.0849LOG(Z)0.8459970.0933529.0624880.0000R-squared0.995080Meandependentvar12.22605AdjustedR-squared0.994501S.D.dependentvar0.381497S.E.ofregression0.028289Akaikeinfocriterion-4.155221Sumsquaredresid0.013604Schwarzcriterion-4.005861Loglikelihood44.55221F-statistic1719.231Durbin-Watsonstat0.425667Prob(F-statistic)0.000000Eviews软件回归结果lslog(y)clog(x)log(z)如下：第5章18将（5-11）式中两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数-----规模报酬参数。它反映了产出对投入的比例变动。两个弹性系数和为1-----规模报酬不变。两个弹性系数和大于1-----规模报酬递增。两个弹性系数和小于1-----规模报酬递减。第5章19例5-3对能源的需求表5-3给出了1960-1982年间7个OECD国家的总最终能源需求指数（Y）、实际GDP（X2）、实际能源价格（X3）的数据。所有指数均以1973年为基准（1973=100）。经济合作与发展组织(OrganizationforEconomicCooperationandDevelopment--OECD)是西方主要资本主义国家协调经济和社会政策的国际组织。简称“经合组织”。第5章20表5-3OECD国家对能源的需求年份最终需求实际的GDP实际的能源价格196054.154.1111.9196155.456.4112.4196258.559.4111.1196361.762.1110.2196463.665.9109196566.869.5108.3196670.373.2105.3197191.889.8100.3197297.294.398.61973100100100197497.3101.4120.1197593.5100.5131197699.11053129.61977100.9109.9137.71978103.9114.4133.71979106.9118.3144.51980101.2119.6179198198.1121.1189.4198295.6120.6190.9第5章21根据表5-3提供的数据，得到如下对数线性需求函数：1688994.0994.0)000.0()000.0()000.0()61.13()09.52()17.17()0243.0()0191.0()0903.0(ln3315.0ln9972.05495.1ˆln22***32FRRptseXXYttt第5章22VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1.5495040.09011317.195080.0000LOG(G)0.9969230.01911052.166340.0000LOG(P)-0.3313640.024310-13.630860.0000R-squared0.994130Meandependentvar4.412077AdjustedR-squared0.993543S.D.dependentvar0.224107S.E.ofregression0.018008Akaikeinfocriterion-5.074916Sumsquaredresid0.006486Schwarzcriterion-4.926808Loglikelihood61.36153F-statistic1693.652Durbin-Watsonstat0.807846Prob(F-statistic)0.000000Eviews软件回归结果：分析：系数的符号是否与经济理论相符、对模型的解释、拟合优度分析、参数显著性、模型显著性等。第5章235.4如何测度增长率：半对数模型半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率。第5章24例5-41970～1999年美国人口增长率年份时间美国人口数年份时间美国人口数19701205.052198516238.46619712207.661198617240.65119723209.896198718242.80419734211.909198819245.02119745213.854198920247.34219756215.973199021249.94819767218.035199122252.63919778220.239199223255.37419789222.585199324258.083197910225.055199425260.599198011227.726199526263.044198112229.966199627265.463198213232.188199728268.008198314234.307199829270.561198415236.348199930273.131表9-41970～1999年美国人口（百万）第5章25我们现在要求在此期间的美国人口增长率。复利计算公式：其中，Y0----Y的初始值，Yt----第t期的Y值r----Y的增长率（复利率）将（5-13）式变形，对等式两边取对数，得：0(1)(513)ttYYr0lnlnln(1)(514)tYYtrB1B2第5章26形如（5