大学物理振动和波动第一章振动学基础

第一章振动本章中心任务-------如何描述机械振动的规律。本章核心内容-------简谐振动及其数学表达式；简谐振动的合成。一物理量在某一定值附近周期性变化力学量（如位移）机械振动电磁振动电磁量（如I、V、E、B）广义：振动狭义：物体在一定位置附近作来回往返的运动（机械运动）振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由谐振动共振(简谐振动）坐标原点必须在平衡位置的运动物体的广义坐标一、简谐振动(SimpleHarmonicVibration)★动力学特征F合外力（矩）kx（广义弹性力）（准弹性力）合外力（矩）平动：（线）坐标转动：角坐标运动物体相对平衡位置的位移或角位移1.特征xokxGNFm★微分方程特征2220dxxdt22dxdt加速度a角加速度动力学方程km令220dxkxdtm0makxcosxAt（）★运动学特征振动方程)cos(tAx0222xdtxdFkx合外力（矩）★简谐振动判据例.（5503）一质量为m的质点在力F=的作用下沿x轴运动．求其运动的周期．2xxF0m2220dxxdtm2Fx解：2m22Tm2.规律速度sin()dxvAtdt加速度2cos()dvaAtdtcos()xAt位移振动方程2468101214-1-0.50.51vtxa注意：当简谐运动的物体是转动时，上两式给出的实际上是角速度和角加速度。速度sin()dxvAtdt加速度2cos()dvaAtdt势能222121cos()2pWkxkAt22222211sin()221sin()2kWmvmAtkAt动能总能2222112211()22kp守恒！3.描述简谐振动的基本物理量cos()xAtA,,.由系统性质决定（故称固有频率）2220dxxdt由定出22T由初始条件决定。（重点！）由初始条件决定。0,t相位为称初相位。圆频率（2秒内振动的次数)()t相位（决定振动状态的物理量）A振幅（最大位移的绝对值）2km第一个振动与第二个振动相位差:12()()tt0第一振动超前0第一振动落后同向与反向2k(21)k两振动同向两振动反向相位差:12超前与落后111222cos();cos()xAtxAt0cosxA0sinvA★用初始条件求振幅A和初相位2200()Axv00vtgx，位移，速度0x0v设0t用上两式时，特别注意和的正负号，从而正确判断出究竟是之间的哪一个值。0x0v0~2特别提醒：oxAox0t以平衡位置为参考点作水平轴①以参考点为圆心、振幅为半径作圆周（参考圆）②③并且使时刻矢量与轴之间的夹角为oxA0t★已知作旋转矢量图cos()xAt作矢量，A4.旋转矢量表示法使矢量绕点沿逆时钟方向旋转，并且其旋转角速度固有圆频率④AO满足上述四个条件的矢量称为旋转矢量Aox0tAtt旋转矢量在轴下方旋转矢量在轴上方任意时刻的末端在轴上的投影时刻与轴之间夹角tAoxxx0vAx0vo0t结论：◆相位tt◆坐标（运动物体相对平衡位置的位移）x◆速度方向xAttx画旋转矢量图：取坐标、画圆周、零时夹角为、旋转逆时针结论：时夹角为相位、投影为坐标上方速度负、下方速度正t1、以平衡位置为参考点作水平轴上方矢量为旋转矢量下方矢量为旋转矢量★已知初始条件时,0tt00,xv①作旋转矢量图②写运动方程①作旋转矢量图oxo3、过点作轴的垂线，ox0xx0x4、从到、分别作矢量与圆交点为、bcobcbc00v，00v，0tt（）5、2、以参考点为圆心、振幅为半径作圆周（参考圆）画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过作垂线到交点画矢量，若在下方;反之在上方.0xo00v，结论：夹角0t②写运动方程cos()xAt2200vAx0t夹角例1（？）两个物体作同方向、同频率、同振幅的谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差。/2Aox1A2A2/A相位差)()(21tt第一个与第二个相位差2第二个与第一个相位差)()(12tt轴夹角任意时刻与oxA1-轴夹角任意时刻与oxA2轴夹角任意时刻与oxA2-轴夹角任意时刻与oxA1本题相位差ox1A2A2/A例2（3054）一简谐振动的振动曲线如图所示。210105o)(cmxt①求出振动方程②利用旋转矢量图求解振动方程)cos(tAx3432，250Ax0t00v0sin322t0)322cos(2Axt）（cmA10232322，0)322sin(①22sin(2)03tvA例2解23232125))(32125cos(10cmtx振动方程5102321252t②利用旋转矢量图求解振动方程ox0t32232))(32125cos(10cmtx振动方程32）（cmA10例.已知简谐振动，当时位移为且向负向运动。求（1）振动方程。（2）且向正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。cm10A0ts2Tcm5xcm5xx解（1）)tcos(AxT2)srad(t0t2A由旋转矢量得32)32tcos(1.0xx（2）先求由旋转矢量法ts1Δt（半个周期）o2/As/m27.0)32sin(1.0)tsin(Av222s/m49.0)32cos(1.0)tcos(Aa由旋转矢量法6532Δ's6565ΔtΔ'（用解析法也可求出！）0t2Atx'ttHdtdxkxdtxdmcos22二、阻尼振动、受迫振动、共振(自学)★阻尼振动：由于阻力的作用而使振动能量减小的一种减幅振动。★受迫振动：振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动。22dxdxmkxdtdt★共振：当驱动力的圆频率与系统固有圆频率相等时，振幅达到最大值的现象。三﹑简谐振动的合成1．同方向同频率的简谐振动的合成；2．同方向不同频率的简谐振动的合成；3．相互垂直、同周期的简谐振动的合成；4．相互垂直、不同周期的简谐振动的合成★同方向同频率的简谐振动的合成分振动:合振动:111=Acos(t+)x222=Acos(t+)x12=+xxxx2AA1A21X1x2x0t=Acos(t+)221212212cos()AAAAA22112211coscossinsintgAAAA合振动振幅合振动初相位合振动圆频率合讨论：两种特殊情况(1)若两分振动同相21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相21=(2k+1)(k=0,1,2,…)如A1=A2,则A=02AA1A2AA1A则，合振幅最大。12AAA则，合振幅最小。12AAA)cos(212212221AAAAA例3（5315）两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为。若第一个简谐振动的振幅为17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？第一、二两个简谐振动的位相差1/6?21x1A2AAo0t122221112cos()AAAAA－cm10)sin()](sin[1212AA2/21解：例4（3043）一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为(SI),(SI).画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．21510cos(4/3)xt22310sin(4/6)xt解：22310sin(4/6)xt2310cos(42/3)t＝x1A2AA合o作两振动的旋转矢量图，如图：=3523,Acm合2210cos(4/3)xt合振动方程为：2.两同方向不同频率（相差较小）的合成两音叉：HZ8001HZ7982合振幅时强时弱的现象称为拍HZ122拍频20406080100120-1-0.50.5120406080100120-1-0.50.51ttt2x1x20406080100120-2-11221xx3.两同频率垂直振动的合成)cos()cos(2211tAytAx{xAAy12直线椭圆方程，形状决定于及、。12Δ1A2A分振动消去，得合运动轨迹方程：txy1A1A2A2A（1、3象限）（2、4象限）12Δ0.1)(sin)cos(AAxy2AyAx12212212222121AyAx222212正椭圆223或22.Δ圆21AAxy1A1A2A2A3.Δ其它值斜椭圆之间为右旋Δ0在之间为左旋Δ2在右旋左旋为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆0443452572234.不同频率垂直方向简谐振动的合成称为李萨如图形。如：两振动的频率成正数比时，合成轨迹稳定，一般轨迹曲线复杂，且不稳定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xyyxxyxyTTNN由切点数之比可测频率。例5（3006）一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振动系统的频率。解：弹簧串联公式nkkkk111121总弹簧并联公式nkkkk21总每一份1233kkkk022ymkdtyd总kkkk621总mkmk621212总两根并联频率合外力mgyykF）（总合0）（总mgyk0物体在平衡位置处弹簧伸长量0yyk总2mk总例6.（5185）用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t）关系曲线如图所示,则振动的初相位为(A)π/6.(B)π/3.(C)π/2.(D)2π/3.(E)5π/6.［］v(m/s)t(s)Omv21-vmA★作业：1.71.91.161.33第二章波动学基础振动在空间的传播过程波动：波动电磁波机械波:机械振动在媒质中的传播:变化的电磁场在空间的传播一、波动的基本概念1.机械波产生的条件波源、媒质2.机械波的传播特点（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。（2）后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后。（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。（4）振动状态、波形、能量向前传播。横波、纵波（观察波动的特点）动画动画水面波是什么波?纵波与横波的合成0t4/Tt2/Tt4/3Tt4710444777101010u振动与波动区别联系振动研究一个质点的运动。波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。振动是波动的根源。波动是振动的传播。3.描述波动的基本量波长周期T波速uuT波源定媒质定4.波阵面与波线波阵面振动状态相同的点连成的面。波线波传播的方向线。球面波平面波最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！◆已知平衡位置在处质点振动方程（位移