大学物理教案(第五版)下册马文蔚改编09--2振动合成

设一质点同时参加如下两振动：)cos(111tAx)cos(222tAx求合振动1）三角函数法21xxx)cos()cos(2211tAtA)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg一）同方向、同频率的两个谐振动的合成§9—5简谐运动的合成21xxx)cos()cos(2211tAtA1111sinsincoscostAtA2222sinsincoscostAtA)coscos(2211AAtcos)sinsin(2211AAtsin令)coscos(2211AAcosA)sinsin(2211AAsinAtAtAxsinsincoscos则)cos(tA下面求A)coscos(2211AAcosA)sinsin(2211AAsinA（1）（2）整理得：212122212coscos2AAAAA2121sinsin2AA)cos(221212221AAAAtx1x2xx从数学曲线上看：结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后仍为同频率的谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx2）旋转矢量法设有：1A2AA12x其旋转矢量如图利用平行四边形法则求其合矢量)cos(tAx可知，合矢量表示一谐振动1A2AA1X22x1xx)cos(11tA)cos(tAx)cos(22tA21xx代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振幅与初相。Acos2212221AAAAA)cos(212212221AAAA22112211coscossinsinAAAAtg求合振动只需求矢量和即可。)cos(212212221AAAAA讨论：1）两振动同相k21221AAA合振幅最大2）两振动反相)12(12k21AAA合振幅最小21AA0A合振幅为零，不振动3）两振动相位差任意21AAAAA21两振动的相位差对合振动起着重要的作用二）两个同方向不同频率谐振动的合成tx1x2x21xxx合成后非谐振动，比较复杂1A2AAx下面研究频率相差不大的两个谐振动的合成)cos(1111tAx)cos(2222tAx若有：21设2121为简单：AAA21令21先用函数曲线叠加：声音时大时小“拍现象”1xt2xtxttx定量分析：)cos(11tAx)cos(22tAx21xxx)cos()cos(21tAtA用和差化积公式：)2cos()2cos(22121ttAx随时间变化很慢可看作合振动的振幅振动的圆频率22121振幅变化的情况)2cos(221tA最大为2A最小为0)](2cos[21拍Tt212拍T拍T/1拍现象的频率等于两个分振动频率之差。拍频t221221设振幅变化的周期为T拍)(221拍Tt]2cos[21t2112强弱21则在单位时间内，出现强弱的次数为21即拍频为21标准未知Hz384每秒产生三个拍加上一些泥土拍频减少?21拍拍频3384387381387tx2x1x21xxx傅立叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同的谐振动的合成。tataatf2coscos)(210tbtb2sinsin21三）在垂直方向上的两个谐振动的合成)cos(111tAx)cos(222tAy质点运动的运动方程，消去t即可得质点运动的轨迹方程。对21的情况：)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx0120221222212AAxyAyAx0)(221AyAx021AyAxYXS22yxS)cos(2221tAAA1A2021AyAx12YX)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)cos(111tAx)cos(222tAyYX)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1222212AyAx2/12YX2/121222212AyAx例）用作图法来合成XYXY1A2AtAxcos1)2cos(2tAy例）求如下两振动的合振动)22cos(1tAx)2cos(2tAyX方向的切点数Y方向的切点数Y方向的频率X方向的频率X二）N个同方向、同频率的谐振动，振幅相等相位依次相差，求合振动的振幅与相位。设：taxcos1)cos(2tax])1(cos[NtaxNX1a45a34a23a2aOMX1a45a34a23a2a用矢量求和COPQMPCQOCPNOCM令CO=CP=CQ==RR)1(2sin2NROM在COP中)2(2sin2Ra)3(2/sin2aR式(3)代入(1)式2sin2sinNaOMACOMCOP22N)1(21N]2)1([2sin2sinNtCOSNaxOX1a45a34a23a2aAPQMRCN2合振幅]2)1([2sin2sinNtCOSNax0NaNaNaA2/2/2sin2sinlim0讨论:1)当=0时:1a2a3a4a5aaNA以N=4为例:242mm当m=1时,210A当m=2时,0A2a3a4a1a1a2a3a4a当m=3时,230A1a3a2a4a2)当N=2m时)(kNmNm2或时:0A22m当m=1时,210A当m=2时,0A2a3a4a1a1a2a3a4a当m=3时,230A1a3a2a4a当m=4时2a1a3a4aA)1(NmaA4归纳:)(kNm0ANm2时:当12,2,1NNN12,22,12NNN……………………………...0ANNNm3,2,,01....3.2.1Nm1)在两个最大之间有N-1个最小值A=02)相当于3,2,1k请大家记住这一结论!