大学物理波动习题

11.掌握平面简谐波波动方程的物理意义.掌握由质点的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建立简谐波波动方程的方法.2.理解波长、周期、频率、波速等概念的含意,并掌握它们之间的关系.3.理解波的干涉现象.掌握波的相干条件.能运用相位差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件.4.理解驻波的特性及其形成条件.了解驻波与行波的区别.5.理解波的能量传播特征以及能流、能流密度等概念.一教学要求波动学基础2Tu波速1.波动是振动的传播过程)cos(0tAy振动在一个周期(T)内传播的距离称为波长()2.简谐振动的传播过程形成简谐波平面简谐波的运动学方程称为波动方程,或波函数.当坐标原点x=0处简谐振动的方程为当波以波速u向x正方向传播,则平面简谐波波动方程:])(cos[0uxtAy二基本概念和规律3])(2cos0xTtAy3.波动过程是能量的传播过程单位体积内波的能量,即能量密度为:)(sin222uxtAw或:])(2cos0xutAy单位体积内波的平均能量,即平均能量密度为:220211AwdtTwT平均能流密度——波的强度为:uAI2221uAI2221矢量式44.波的干涉(1)波的干涉条件:频率、振动方向相同、相位差恒定.(2)相干区域各点振动的振幅其中:k=0,1,2,3)](2cos[2121020212221rrAAAAA(3)相干加强和减弱的条件2121121020)12(2)(2AAAAAAkkrr减弱加强当10=20时,干涉点的相位差由波程差=r2-r1决定,减弱加强2)12(12kkrr5如果r1=r2,由相位差=20-10即由波源初相差决定.5.驻波两列相干波在同一直线上相向传播,叠加形成驻波.方程为波节位置波腹位置txAycos2cos24)12(kx2kx6.多普勒效应61.关于波动方程的讨论y=Acos(t+x/u)你认为如何?(2)有一平面简谐波的表达式为:试分别指出式中x/u,0,2x/及式中正,负号的物理意义.(3)一平面简谐波的运动学方程为y=Acos(x,t),其中(x,t)=(t-x/u),试说明(1)根据波是振动的传播这一概念可以写出波动方程,有人认为如果波从O,则O点开始振动的时刻比P点晚x/u,即t的相位要在(t+x/u)时刻才传到P点,因此P点的振动表达式应为:]2cos[])(cos[00xtAuxtAy)()()(txxytytx三课堂讨论题各代表什么意义.7)(tx)(),(uxttxxt2)(20tx)2(20t02ututx)(8波长是描述波动的空间个周期性的物理量.对波长的定义通常有如下三种说法:2.关于波长定义的讨论(1)是振动在一个周期内传播的距离;(2)是同一波线上相位差为2的两个振动点之间的距离;(3)是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离;试分析上述说法是否一致.3.关于叠加原理和干涉条件的讨论(1)波的相干条件是什么?有人说两列波不满足相干条件不能叠加，对不对？(2)两列简谐波叠加的区域内,各点的运动是简谐运动,但运动方向与该点的分振动不相同,这两列简谐波是否相干波?它们的频率和相位差怎样？两频率相同,振动方向相互垂直的简谐振动叠加.当=0,时…...9(3)波的能量与振幅的平方成正比,两列振幅相同的相干波叠加后加强点的振幅加倍,能量便为分振动的4倍,这是否违反了能量守恒定律？4.关于驻波和行波的特征与区别的讨论(1)驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征?有没有相位的传递?(2)驻波和行波中各质元的能量如何变化?有没有能量的传播?(3)驻波和行波的波形有什么特征?有没有波形的传播?10驻波的能量当各质点振动达到最大位移时，各质点动能为零，驻波能量为势能，波节处形变最大，势能集中在波节。y/x较大y/x最小当各质点振动达到平衡位置时，各质点势能为零，驻波能量为动能，波节处速度为零，动能集中在波腹。始终不动11(4)对如图的平面简谐波t时刻的波形曲线,下列各结论哪个是正确的?yoxABC①B处质元的振动动能减小,则其弹性势能必增大;答：质元的振动动能和弹性势能是同相位的，同时增大，同时减少。②A处质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能量传给相邻的质元,其能量逐渐减小.答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大，所以A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。错错③A处质元回到平衡位置的过程中…..对12④B处质元振动动能增大,则波一定沿x负方向传播;xoABC答：B处质元振动动能增大,则它将向平衡位置移动，作图，可知波一定沿x负方向传播;⑤B处质元振动动能减小,则C处质元振动动能一定增大;答：B处质元振动动能减小,可知波一定沿x正方向传播，作图,看出C处质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。对错⑥C处质元t时刻波的能量(动能与势能之和)是10J,则在(t+T)时刻(T为周期)该处质元振动动能一定是5J;答：动能与势能在任意时刻都相等，又t时刻波的能量与在(t+T)时刻(T为周期)的能量应该相同，所以在(t+T)时刻C处质元振动动能一定是5J;对135.在一根很长的细杆中传播着纵波,某一时刻的波形曲线如图,曲线,试分析图中A、B、C、D、.…各点哪些对疏部，哪些对应波的密部。yxBAECDFGHIxAECGI0ByB0DyDFH密部疏部密部疏部疏部y=0的各点相对形变最大，对应疏部和密部；y最大的各点相对形变为零，是疏部和密部的分界线.141.已知一平面简谐波的波动方程为：(1)用比较系数法求、T、u及x=0处的初相;)SI()5.2(cos2.0xty(2)根据、T、u的物理意义,亦即从相位关系上求上述各量的值;四课堂计算题解：(1)y=–0.2cos(2.5t-x)=0.2cos[2(2.5t/2-x/2)+]T=0.8s;=2m;])(2cos[0xTtAy比较u=2.5m/s,0=(2)略152.已知一平面简谐波沿x轴的正向传播，振幅A，频率波速u。设时刻的波形曲线如图所示，求(1)x=0处质点的振动方程;(2)该波的波动方程。(1)x=0处,因为时刻0)2sin(2dd0'tAty(2)波的表达式'tt0)2cos(0'tAy'tt220'tx=0处质点的振动方程]2)(2cos['ttAy]2)(2cos['uxttAyyoxu'tt])(cos[),(0uxtAtxy解：设所求波动方程'022t16另一点D在A点的右方9m处.3.一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s的速度自左向右传播.已知在传播路径上的某点A的振动方程为：)SI()4cos(3ty(1)若取x轴方向向左,并以A为坐标原点,试写出波动方程,并求出D点的振动方程;(2)若取x轴方向向右,并以A点左方5m处的O点为坐标原点,试写出波动方程及D点的振动方程;ADOu17解：(1)因为A点的振动方程：y=Acos(ωt+0)=3cos(4t–)取x轴方向为向左，波动方程为：y=Acos[ω(t+x/u)+0]=又D点坐标为x=–9myD=3cos（4t–14/5）(2)取x轴方向向右，A点坐标为x=5myA=3cos(4t–)波动方程为y=Acos{ω[t–(x–5)/u]+0}=3cos(4t–x/5)D点坐标为x=14myD=3cos(4t-14/5)ADOux3cos(4t+x/5–)184.一平面简谐波沿x轴正方向传播,振幅A=0.1m,角频率=7rad/s,当t=1s时x=0.1m处的质点a的振动状态为ya=0,(dy/dt)a0,此时,x=0.2m处的质点b的振动状态为yb=0.05m,(dy/dt)b0,假设该波的波长满足0.05m0.1m,求波的表达式.特别注意：在一个波长内沿传播方向相位递减解：由题知：A=0.1m,=7rad/s,当t=1s,x=0.1m时,ya=0,(dy/dt)a0同理求得当t=1s,x=0.2m时,yb=0.05=A/2,(dy/dt)b0xp20])(2cos[0xTtAy02.07a22k04.07b3bay19解得:讨论:k=1时,=0.0706mk=2时,=0.0413m(因0.05m0.1m,故舍去)则0=/3波的表达式为:当k=0时,=0.24m(因0.05m0.1m,故舍去))SI()30706.027cos(1.0xty6522.0k205.一平面简谐波t=0.1s时的波形曲线如图,求:(2)画出O点的振动曲线和旋转矢量.x(m)y(m)u=4m/sO0.11.01.80.2(1)写出此波的波动方程.(1)由题知u=4m/s,=1.6m故=2=2u/=5a=5(0.1–0.2/4)+0=/20=/4aaa点：当t=0.1s,x=0.2m时,ya=0,(dy/dt)a0a'A=0.14mAcos(0.5+/4)=–0.1a'点：(2)O点振动方程为:y=0.14cos(5t+/4)ty(m)O0.1]4)4(5cos[14.0xtyA0a求什么?])(cos[0uxtAy解:设所求波函数21M0t(s)y(m)0.10.40.30.2Oy(2)O点振动方程为:y=0.14cos(5t+/4)226.如图在x=0点有一平面简谐波源,其振动方程为:产生的波沿x轴正、负方向传播,位于x=–3/4处有一个波密介质反射平面MN,tAycos/4NOM/2-/4-/2yx(1)写出反射波的波动方程;(2)写出合成波的波动方程;(3)讨论合成波的平均能流密度.第一步：写出入射波函数；第三步：写出反射波波函数.第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑有无半波损失，然后写出反射波在反射面处的振动方程。236.解(1)反射点处的振动方程]/4NOM/2-/4-/2yx(2)在原点O的左方,由O点发出的波动方程为)23costAyR（则反射波的波动方程为2cos[tAy反)43(x23)2cos(xtA(3)在O点左侧：平均能流I=0;)2cos(xtAy左与反射波叠加左反yyytxAycos2cos2驻波(–34x0)在原点O的右方右反yyy)2cos(2xtA行波在O点右侧：平均能流为原来的4倍.24S1S2PRQx0解：(1)取坐标如图所示,由题知:=2m1210202rrP处处干涉相消7.S1、S2位于x轴上,它们的坐标分别是x10=0.0m,x20=20.5m,是同一介质中的两个波源,它们激起的平面波沿x轴传播,波速200m/s,频率为=100Hz,振幅A=5.0cm,初相差10-20=/2,求:(1)x轴上因干涉而静止和加强的各点的位置;(2)x1=0.5m与x2=1.5m处的相位差;x1=0.5m与x2=2.5m处的相位差;(3)x0,与0x20.5m,x20.5m三个区域的能流密度(波的强度)各是多少?两波在S1左侧的任一点P的相位差：2125.202225处处干涉加强(2)x1=0.5m与x2=1.5m两点在波节x=1m的两侧，(3)x0,I=0;相干加强,10,2,1,0,5.10kkx]