统计学 第6章 统计量及其抽样分布

6-1/55统计学STATISTICS(第五版)第6章统计量及其抽样分布6-2/55统计学STATISTICS(第五版)第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的抽样分布6.6两个样本平均值之差的分布6.7关于样本方差的分布6-3/55统计学STATISTICS(第五版)学习目标1.了解统计量及其分布的几个概念2.了解由正态分布导出的几个重要分布3.理解样本均值的分布与中心极限定理4.掌握单样本比例和样本方差的抽样分布6-4/55统计学STATISTICS(第五版)6.1统计量6.1.1统计量的概念6.1.2常用统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量6-5/55统计学STATISTICS(第五版)统计量(statistic)1.设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量2.统计量是样本的一个函数3.统计量是统计推断的基础6-6/55统计学STATISTICS(第五版)次序统计量1.一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量2.中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量6-7/55统计学STATISTICS(第五版)6.2关于分布的几个概念6.2.1抽样分布6.2.2渐进分布6.2.3随机模拟获得的近似分布6-8/55统计学STATISTICS(第五版)1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布2.随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布(samplingdistribution)6-9/55统计学STATISTICS(第五版)重要统计量来证明））（）（）（（运用：）（样本方差：，则，），，（若样本均值：2212222212112][11.211111~.1XXEXXEXXDXXnSnnnDXnXDEXnXEXnXNXniiniiniinii6-10/55统计学STATISTICS(第五版)111222()()[()]111111nnnESExxDxxExxiiinnniii1=()011nDxxini112=[()]11xxxxnniDxinni(1)1111xnxnxinDnnnni21(1)(1)2222211nnnnnni（这为用样本方差去估计总体方差提供了证明）6-11/55统计学STATISTICS(第五版)6.3由正态分布导出的几个重要分布6.3.12分布6.3.2t分布6.3.3F分布6-12/55统计学STATISTICS(第五版)2分布6-13/55统计学STATISTICS(第五版)2分布(2distribution)由阿贝（Abbe）于1863年首先给出，后来由海尔墨特（Hermert）和卡·皮尔逊（K·Pearson）分别于1875年和1900年推导出来)(~2nX6-14/55统计学STATISTICS(第五版)2分布(图示)不同容量样本的抽样分布2n=1n=4n=10n=206-15/55统计学STATISTICS(第五版)2分布：定理：如果随机变量,,,12XXXn相互独立，且都服从2(,)N，那么，我们可以先把它们变为12,,,nZZZn个独立标准正态变量的平方和被定义为2，且标准正态变量2222221211()()()()()nnniiiiXXXXnZ同一正态分布6-16/55统计学STATISTICS(第五版)证明）（）（）（）（）（）（）（）；（）；（））；（（）（）（；）；（）；（）（nXnXXXXXXNXNXNXXZnnn222222212222222122221222~~1~1~1~,~,~,~1~)(6-17/55统计学STATISTICS(第五版)2()n例1：查2分布，要求会查表，应用上侧分位数。（1）2分布表，求下列各值：067.14)7(940.3)10(307.18)10(205.0295.0205.0)7()10()10(205.0295.0205.0；；6-18/55统计学STATISTICS(第五版)例2：已知2(5)15，求临界概率解：查2找到与15最接近的数值是15.086，得到的近似值为0.01，由此可知220.01((5)(5))0.01P分布表，在表中自由度为5的横行中6-19/55统计学STATISTICS(第五版)2（2）分布的性质和特点：）（）（），则，（、如果）（则），（、如果）（则）（）（、可加性，即1~1~3~,10~2~,~,~122222122122212nSnNXnXNXnnYXnYnXnii6-20/55统计学STATISTICS(第五版)122()()21XniXii122[()2()()()]21nXXXXXXiii12[()()]21nXXXii）（）（证明1~1222nSn6-21/55统计学STATISTICS(第五版)122[()2()()()]211nnXXXXXnXiiii21(1)()222()()()221nXnSXXXinni所以2(1)222()(1)(1)2nSnn），（）（）（），，（nNXnXNX2222~~~例3：已知127,,,(,1)XXXN服从且2221234567(2)()~(2),aXXXbXXXX求a，b。解：411~]40[40611~]602[61412022276547654765422321321321bXXXXXXXXDXXXXEaXXXXXXDXXXE）（）（）（，）（同理，）（）（）（，）（6-23/55统计学STATISTICS(第五版)t分布6-24/55统计学STATISTICS(第五版)t分布1.高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(学生)为笔名的论文中首次提出2.t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散3.一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布6-25/55统计学STATISTICS(第五版)t分布图示xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z（1）t分布的图像，要求会查表，应用双侧分位数2()tn2()tn2例：设随机变量t服从自度为15的t分布。①求0.01的双侧分位数②若Pt)0.05（,求解：①查表，自由度n=15，0.01得0.005(15)2.9467t②由Pt15)0.05（（），得查表得=1.75310.05((15)1.7531)t2（2）t分布的典型模式）（）（）（）（）（）（），（证明：因为）（）（），（）（），则（如果）（）相互独立，则（）与（如果1~1~111,0~1~11,0~1,0~,~,~1~,~.~~1,0~.2222222222ntnSXnnSnNnXnSnNnXNnXnNXNXntnSXNXbntnYXnYNXa例1：已知129129,,,,,,,(0,1)XXXYYYN服从则统计量129222129XXXWYYY服从分布。解：因为129()/3~(0,1)UXXXN2222129~(9)YYY129222129()/3/9XXXwYYY由t分布的定义知~(9)Wtt（9）例2：设212,,,(,)nXXXN服从22111,()1niiSXXn22211()niiSXXn22311,()1niiSXn22411,()niiSXn则服从t(n－1)的随机变量是（）。1./1XSnＡ2./1XSnＢ3./XSnＣ4./XDSn解析：因为(1)/XtnSn，又2/1()(1)XXSnXXnn看看谁的分母化简的与此一样即可。首先排除（Ｃ）、（Ｄ）应减去，而不是，而（Ａ）不符合定理结论。XＢ6-30/55统计学STATISTICS(第五版)F分布6-31/55统计学STATISTICS(第五版)由统计学家费希尔（R.A.Fisher）提出的，以其姓氏的第一个字母来命名F分布(Fdistribution)6-32/55统计学STATISTICS(第五版)F分布(图示)不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)（1）Ｆ分布的典型模式①定理：设2~()Xn与2~()Ym相互独立，则//~(,)XnYmFFnm称为服从第一自由度为n，第二自由度为m的Ｆ－分布。②定理：设211211,,,(,)nXXXN与221222,,,(,)nYYYN相互独立，则21112221112222222222(1)(1)12(1)(1)~(1,1)nSnSnSSnFFnn注：当12时212212~(1,1)SSFFnn（方差分析时用）22111212222222(1)(1)(1)(1)nSnnSn21112112222222(1)1(1,1)(1)1nSnFnnnSn因为：（2）Ｆ分布的性质和特点反对称性：121211(,)(,)FnnFnn（3）F分布的图像。要求会查表，应用双侧分位数【例】（F分布表不能查的，可化成表中可查的。）求F0.995（12，30）=？因为0.9950.00511F12300.23(30,12)4.33F（，）12(,)Fnn例：设(24,15)FF，求满足1()0.025,PF2()0.025PF12的和解：查0.025的Ｆ分布表，0.025(24,15)F12.70，得对于2()0.025PF无法直接查表，变换形式，有2211()()0.025PFPF由定理可知，查0.025的F分布表，得212.44即1()0.0252.44PF所以210.412.44），（2415~1FF例：对0.050.050.05(1,10),(1,),(10,)FFF分别验证F分布与其他分布的关系。解：查表得：0.05(1,10)F①20.052(10)t4.9622.2284.9639840.05(1,)F②3.8420.052Z21.963.840.05(10,)F③1.8320.05(10)10（4）F分布与其他分布的关系：（F分布的近似计算）22(1,)FZ②2()(,)kFkk③22(1,)()Fktk①18.3071.8307106-38/55统计学S