统计学 第六章方差分析

第一节方差分析的一般问题第二节单因素方差分析第六章方差分析第一节方差分析的一般问题一、方差分析的含义二、方差分析的类型三、方差分析的基本思想•方差分析（analysisofvariance，通常简记为ANOVA）是著名统计学家R.Fisher在二十世纪二十年代前后提出并系统阐述的，早期在农业、生物领域获得应用，后来逐渐推广到医学、教学、心理、社会等众多学科领域，目前它已经成为数理统计中应用最广泛的几个研究方向之一，也是人文社科与自然科学研究及实践中分析调查或实验数据的重要工具之一。方差分析该统计分析方法能一次性地检验多个总体均值是否存在显著差异。假设检验主要是检验两总体的均值是否差异显著。对于多个总体均值是否差异显著的问题，如果按照每一对总体进行一次检验，显然要花费较多的时间。因此，方差分析所提供的处理方法比两两比较的处理方法要方便得多。某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见下表，试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。例该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8方差分析的基本概念因素因素又称因子，指所要检验的对象。是在实验中或在抽样时发生的“量”，通常用A、B、C……表示。要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子水平因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。上例中A1、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平。交互影响如果因子间存在相互作用，称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。观察值在每个因素水平下得到的样本值。上例中每种颜色饮料的销售量就是观察值。总体因素的每一个水平可以看作是一个总体。上例中A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体。•按影响分析指标的因素个数多少的不同单因素方差分析双因素方差分析多因素方差分析•按分析指标（观察结果）中变量个数多少的不同一元方差分析多元方差分析X11aX21a………………Xn1aX12aX22a………………Xn2a……..…….……..……..……..……..X1kaX2ka………………XnkaX11bX21b………………Xn1bX12bX22b………………Xn2b….....…….…….…….…….…….X1lbX2lb………………XnlbX11cX21c………………Xn1cX11cX22c………………Xn1c……..……..……..……..……...………X11cX2kc………………Xnmc因子A因子B因子C水平1水平2……..水平k水平1水平2…….水平l水平1水平2……..水平m方差分析的基本思想比较两类误差以检验均值是否相等比较的基础是方差比如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的两类误差随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异。比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的。不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差。系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异。比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。两类方差组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差。比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差。组内方差只包含随机误差组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差。组间方差既包括随机误差，也包括系统误差。两类方差方差的比较如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1•如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异。方差的比较基本假定每个总体都应服从正态分布–对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本–比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布基本假定各个总体的方差必须相同–对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的。–比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。观察值是独立的。–比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立。方差分析的原理在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题。如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近。方差分析的原理四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分。样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分。•如果原假设成立，即H0:==•四种颜色饮料销售的均值都相等–没有系统误差•这意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体1X2X43XXXXf(X)2X2X2X2X1X2X3X4X如果备择假设成立，即H1:(i=1，2，3，4)不全相等–至少有一个总体的均值是不同的–有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体。iXXf(X)1X3X4X2X方差的分解样本数据的波动又两个来源：一个是随机波动；一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映。这个离差平方和可分解为组间方差与组内方差两部份。即方差的分解总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内方差，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样的结果有显著作用。检验统计量1、自由度：产生方差的独立变量的个数，称做自由度。2、均方差：方差除以独立变量个数即自由度。3、检验因子影响是否显著的统计量.F组间均方差组内均方差F统计量越大，越说明组间方差是主要的方差来源，因子影响是显著的；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响不显著。第二节单因素方差分析一、单因素方差分析的步骤二、单因素方差分析中的其它问题三、显著性统计检验单因素方差分析的步骤（一）提出假设（二）构造检验统计量（三）统计决策单因素方差分析的步骤提出假设一般提法H0:==…=(因素有r个水平）H1:，，…，不全相等对前面的例子提出假设H0:===颜色对销售量没有影响H1:，，，不全相等颜色对销售量有影响1X2XrX1X2XrX1X2X3X4X1X2X3X4X构造检验统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量—F统计量组内均方差组间均方差F构造检验统计量需要计算1、水平的均值2、全部观察值的总均值3、离差平方和4、均方差•平方和分解公式22211111()()()iinnrrrijiiijiijiijxxnxxxx（总离差平方和）（组间离差平方和）（组内离差平方和）SSTSSASSE单因素方差分析数据结构表水平号观察指标值算术均值方差A1A2……Arx11x12…..x1nx21x22……x2n......………...…...xr1xr2……xrn.......S12S22.......Sr21x3x2x2211(1,2,,)1iniijijisxxirnSST是全部观察值与总平均值的离差平方和，反映全部观察值的离散状况。其计算公式为：211rnTijijSSxXSST反映了全部数据总的误差程度。计算SSE组内离差平方和211rnEijiijSSxxSSE反映了随机误差的大小。计算SSA（组间离差平方和）22111rnrAiiiijiSSxXnxXSSA既包括随机误差，也包括系统误差，反映的是随机误差和系统误差的大小。ASS2(1)AASSSr22EASSFESS2/()EESSSnrTSS方差来源df(自由度)S2(离差平方和)S2(均方差)F值p值因素Ar-1P随机误差n-r总和n-1单因素方差分析表如果原假设成立，即H1＝H2＝…＝Hr为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方差与组内平方和SSE除以自由度后的均方差的差异就不会太大；如果组间均方差显著地大于组内均方差，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差。判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间均方差与组内均方差之间差异的大小。检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量。检验统计量=组间均方差/组内均方差即：22EASSF22(1)AASSr计算均方差各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要用离差平方和除以相应的自由度，这就是均方差。计算方法：22/()EESSnr统计决策将检验统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策。(1,)rnrF接受域拒绝域检验规则若FF，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响。若FF，则不能拒绝原假设H0，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响。2AS22(1)AASSr22EASSF2ES22/()EESSnr2TS方差来源df(自由度)S2(离差平方和)S2(均方差)F值p值因素Ar-1P随机误差n-r总和n-1单因素方差分析表单因素方差分析表方差来源平方和SS自由度df均方差F值组间(因素影响)组内(误差)总和SA2SE2ST2r-1n-rn-1SA2SE222EASSF[例]为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本，其中零售业抽取7家，旅游业抽取了6家，航空公司抽取5家、家电制造业抽取了5家，然后记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数，结果如下表所示。试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(＝0.05)消费者对四个行业的投诉次数观察值(j)行业(A)零售业旅游业航空公司家电制造业12345675755464554534762496054565551494855477068636960解：设四个行业被投诉次数的均值分别为，、、、，则需要检验如下假设H0:===(四个行业的服务质量无显著差异)H1:，，，不全相等(有显著差异)Excel输出的结果如下1X4X3X2X1X1X2X2X3X3X4X4X差异源SS自由度MSFP-值临界值组间845.21743281.739114.787413.31E-053.127354组内3621919.05263总和1207.21722结论:拒绝H0,即四个行业的服务质量有显著差异。