第5章 线性系统的频率响应分析法

2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法1Nyquist稳定性判据选择映射函数F(s)为特征函数,即))()()((,)()()()(1)(为开环传函sAsBsGsAsBsAsGsFNyquist稳定性判据：若开环系统G(s)有P个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是，系统特征函数F(s)=1+G(s)的映射曲线逆时针包围F平面的坐标原点P周。注释1：F的零点为闭环极点，F的极点为开环极点。选择周线D包围整个右半S平面注释2：该周线称为Nyquist周线。称基于奈奎斯特周线所得开环函数的映射曲线为开环奈奎斯特曲线。注释3：闭环稳定有Z=0，于是N=Z-P=-P(逆时针P周)2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法2Nyquist判据的延伸表述◆Nyquist判据1：若系统的开环函数G(s)有P个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环奈奎斯特曲线逆时针包围G平面的(-1,j0)点P周。注释1：F(s)=1+G(s)，两映射曲线是平移单位1的关系，即F平面的坐标原点对应G平面的(-1,j0)点。◆Nyquist判据2：若开环系统G(s)是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环奈奎斯特曲线不包围G平面的(-1,j0)点。注释2：Z=0，P=0，则N=Z-P=0。2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法3Nyquist周线与Nyquist曲线的关系虚轴上无开环函数G(s)极点的情况原像点为S平面的Nyquist周线像点(映射点)为G平面的Nyquist曲线}0,:{}9090,:{}0,:{321jssDessDjssDDj)(),()(),()(),()(321DsjGDsGDsjGsGj01D2D3DS平面XG平面jY02020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法4例5.10：分析闭环系统稳定性分析如下开环传函的闭环稳定性)0,,,(,)1)(1)(1()(321321TTTKsTsTsTKsG[解]：首先绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(jω)的起点和终点：2700)(,)0(jGKjG（2）G(jω)与负实轴的交点32133211332212)(),(1,)(TTTTTTbTTTTTTajbaKjG1)/1/1/1)(()(321321TTTTTTKjGxx3213210TTTTTTbxXjY02020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法5（续）（3）按对称于实轴的方式补充绘制G(-jω)曲线。另外，S平面奈氏周线D2段映射到G平面坐标原点。（4）如果，此时G(s)的奈氏曲线顺时针包围G平面上的(-1,j0)点，于是闭环系统有Z=N+P=2个极点在右半S平面，闭环系统是不稳定的。1)(xjG（5）如果，此时G(s)的奈氏曲线不包围G平面(-1,j0)点，闭环系统是稳定的。1)(xjGXjY0)0,1(j2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法6例5.11：分析闭环系统稳定性分析如下开环传函G(s)的闭环稳定性)0,(,1)(TKsTKsG[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(jω)的起点和终点分别为900)(,)0(jGKjGG(jω)轨迹在G平面第三象限，因为180tg)(-1T（2）若K1，奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点一周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以闭环系统稳定。（3）若K1，奈氏曲线不包围(-1,j0)，系统不稳定。-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5XjYK=0.70K=22020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法7虚轴上含有G(s)极点的情况考虑v(≠0)型系统的情况奈奎斯特周线应该避开使G(s)奇异的点(即S平面坐标原点)。}9090,0:{}0,:{}9090,:{}0,:{4321jjessDjssDessDjssDD)(),0()(),()(),()(),()(4321DsGDsjGDsGDsjGsGj0rR1D2D3D4D)2(,)1(,)0(24vevesKGjjDsv结论：D4段为绕坐标原点无穷小半径逆时针半周，则G(j0)为绕坐标原点无穷大半径顺时针v个半周。2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法8例5.12：1型系统的稳定性判别已知系统的开环传递函数如下，分析其闭环稳定性)0,,(,)1)(1()(2121TTKsTsTsKsG[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(jω)的起点和终点分别为2700)(,90)0(jGjG（2）求取G(jω)与负实轴的交点)1()()(212212TTjTTKjG212121)(1TTTKTjGTTxxXjY0绘制G(jω)奈氏曲线2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法9（续）（3）按对称于实轴方式补画G(-jω)的轨迹。并且S平面D2段映射为G平面坐标原点。（4）对1型系统，奈氏周线D4段映射为无穷大半径顺时针半周。（5）如果，此时奈氏曲线不包围G平面上的(-1,j0)点，故此时闭环系统是稳定的。1)(xjG（6）如果，此时奈氏曲线顺时针包围G平面(-1,j0)点两周，于是Z=N+P=2，所以闭环系统是不稳定的。1)(xjGXjY0)0,1(j2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法10例5.13：2型系统的稳定性判别已知系统的开环传递函数G(s)为)0,(,)61)(31()1()(2TKssssTKsG[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(jω)的起点和终点分别为2700)(,180)0(jGjG（2）求取G(jω)与负实轴的交点422222281)181()918(9181)(TTjTKjGXjY0绘制G(jω)奈氏曲线)9(,92)(,1892TTKTjGTTxx无交点时2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法11（续）（3）按对称于实轴绘G(-jω)，且奈氏周线D2段映射为G平面坐标原点。（4）补充奈氏周线D4段的映射曲线G(j0)，即从ω=0-到ω=0+时顺时针一周。XjY0XjY0（5）时，奈氏曲线不包围G平面(-1,j0)点。1)(xjG)0,1(j（6）时呢？1)(xjG（7）无交点时呢？)0,1(j2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法12相对稳定性的概念请回顾系统稳定或不稳定与系统特征根的关系。1)(,0)(1jGsGjs或者，◆当系统临界稳定时，必然存在虚数根，即有所以，称G平面上(-1,j0)点为临界稳定点。◆假设闭环系统是稳定的。在不改变系统开环不稳定极点情况下，如果因系统参数变化而使开环奈氏曲线穿越负实轴之点发生跨越(-1,j0)点的变化，那么，系统将变为不稳定。◆如果系统开环奈氏曲线距离(-1,j0)点越远，则需“更大”参数变化才能改变奈氏曲线对临界点的包围状况，于是，闭环系统的稳定程度越高。2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法13稳定程度度量指标-相位裕度定义：开环频率特性G(jω)的幅值等于1（或者0分贝）时的频率ωc称为幅值穿越频率，此时有1)(cjG定义：开环频率特性在幅穿频率ωc处相角与-180°之差称为相位裕度，用Pm表示，即注释：保持开环频率特性的幅值不变，仅仅改变其相角，则当相角滞后Pm时，开环频率特性在幅穿频率处的幅值为1且相角为-180°，或者即奈氏曲线穿越(-1,j0)，于是，闭环系统变为临界稳定。)(180)180()(ccmjGjGP2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法14相位裕度图示-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.51XjYφ(ωc)Pm(ω=ωc)G(jω)-150-100-50050L(ω)(dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90φ(ω)(deg)ω(rad/sec)Pmω=ωc◆系统相位裕度为正，表明系统进一步滞后的相角在Pm内时，系统仍然能够保持稳定；系统相位裕度为负，表明至少需要超前-Pm相角才能使系统稳定。2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法15稳定程度度量指标-幅值裕度定义：对于最小相位系统，开环频率特性G(jω)的相角等于-180°时的频率ωg称为相角穿越频率180)(gjG定义：开环频率特性在相穿频率ωg处幅值的倒数称为绝对幅值裕度，或者该频率处幅值分贝数与0分贝之差称为相对幅值裕度，用Gm(dB)表示，即注释：幅值裕度表明，保持开环相角特性不变时，闭环系统可以容忍多大的增益变化还能保持其原来的属性。)()(lg200)dB()(/1)(/1ggmggmLjGGMjGG或者，2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法16幅值裕度图示◆系统幅值裕度为正，表明系统的开环增益放大在Gm(dB)值以内时，系统仍然能够保持稳定；系统幅值裕度为负，表明至少需要衰减-Gm(dB)分贝才能使系统稳定。-1-0.500.5-1.5-1-0.500.5XjYG(jω)(ω=ωg)M(ωg)-150-100-50050L(ω)(dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90φ(ω)(deg)ω(rad/sec)ω=ωgGm2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法17例5.14：计算幅值裕度和相位裕度已知如下二阶系统开环传递函数，计算幅相裕度)0,(,)2()(2nnnsssG[解]：（1）计算幅穿频率和相穿频率242222141)2()(ncnccncM（2）计算幅值裕度和相位裕度gn180]2tg90[lim)(lim1)(lg20)dB(gmMG)214/2(tg)(180241cmP2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法18例5.15：计算幅值裕度和相位裕度已知系统开环传递函数如下，计算幅相裕度)2)(1(2.0)(ssssG[解]：使用MATLAB语句运算Gs=tf(0.2,conv([10],[132]))margin(Gs)-150-100-50050Magnitude(dB)10-210-1100101102-270-225-180-135-90Phase(deg)BodeDiagramGm=29.5dB(at1.41rad/sec),Pm=81.5deg(at0.0994rad/sec)Frequency(rad/sec)2020年1月20日星期一第5章线性系统的频率响应分析法19灵敏度和余灵敏度函数定义：系统开环传递函数为G(s)，则系统的灵敏度函数S(s)和余灵敏度函数T(s)分别为)(11)(sGsS)(sR)(sY)(sC)(sD)(sN)(sP)(sU)(sE)()()()(),()()()()()()(),()()(sSsPsDsEsSsPsDsYsSsNsEsSsRsE)()()(sCsPsG)()()()()()(,sTsNsYsTsRs