控制理论第2章(1)

第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型引言2-1控制系统微分方程的建立2-2传递函数2-3动态结构图2-4典型反馈系统的几种传递函数第二章自动控制系统的数学模型本章主要内容:第二章自动控制系统的数学模型基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握传递函数的概念及性质。4.掌握典型环节的传递函数形式。第二章自动控制系统的数学模型5.熟悉由系统微分方程组建立动态结构图的方法。6.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。7.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。第二章自动控制系统的数学模型引言1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。2.为什么要建立数学模型？①是对系统的性能进行定量分析和计算的需要，是分析和设计系统的依据。②具有相同数学模型的系统，其运动规律可能完全一样。一.数学模型第二章自动控制系统的数学模型3.表示形式三种数学模型之间的关系线性系统微分方程频率特性传递函数拉氏变换傅氏变换a.微分方程b.传递函数(结构图)c.频率特性第二章自动控制系统的数学模型4.建立方法目前工程上采用的方法主要是:解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。第二章自动控制系统的数学模型1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。线性元件：具有叠加性和齐次性的元件称为线性元件。二.线性系统第二章自动控制系统的数学模型叠加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。2.特点第二章自动控制系统的数学模型引例.建立如图所示RC网络的输入电压与输出电压之间的动态方程。RCuruci2-1自动控制系统微分方程的建立第二章自动控制系统的数学模型解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:TRC令（时间常数），则微分方程为：1()()()drCutRititt1()()dcCutitt(211)(213)d()()()dccrutTututt(212)d()()()dccrutRCututt第二章自动控制系统的数学模型分析系统工作原理，找出各物理量之间的关系，确定系统的输入、输出变量;列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等，列写动态关系式;消去中间变量，建立适当的输入、输出模型，即微分方程。建立微分方程的一般步骤：第二章自动控制系统的数学模型图2-1RLC无源网络LRui(t)Cuo(t)i(t)例2-1由R、L和C组成的无源网络,试列写以ui(t)为输入量,以uo(t)为输出量的网络微分方程。第二章自动控制系统的数学模型依据：电学中的基尔霍夫定律)1(),()()()(tudttdiLtRituoi)2(,)(1)(dttiCtuodttduCtio)()()()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)（两边求导）第二章自动控制系统的数学模型例2-2.机械平移系统一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中k是弹簧系数,m是运动部件质量（可忽略）,f是阻尼器的阻尼系数,外力F(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统F(t)输入量,y(t)输出的微分方程。mkF(t)y(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧第二章自动控制系统的数学模型理论依据：1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。maFtfyFtkyF而)(')(21mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力第二章自动控制系统的数学模型)('')(')()()()(''21tmytfytkytFmaFFtFtya代入上式得机械平移系统的微分方程为：)()()(')(''tFtkytfytmy第二章自动控制系统的数学模型)()()(22tftkydttdyfdtydm)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo两个不同的物理系统具有相同形式的运动方程,即具有相同的数学模型，其运动规律具有共性。------相似系统。第二章自动控制系统的数学模型复习拉氏变换1.拉氏变换的定义若将函数f(t)(实变量t),乘上指数函数e-st,并且在［0,+∞］上对t积分,新的函数F(s),称F(s)为f(t)的拉氏变换,并用符号表示。dtetftfLsFst)()]([)(0---f(t)转化为复变量函数F(s)----通常将F(s)称作f(t)的象函数,将f(t)称作F(s)的原函数。第二章自动控制系统的数学模型2.1)线性定理)()()]([)]([)]()([212121sFsFtfLtfLtftfL函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍。)()]([skFtkfL两个函数和的拉氏变换,等于每个函数拉氏变换的和。第二章自动控制系统的数学模型2)微分定理0)0()0(')0()1(nfff成立,则有:)()]([)(sFstfLnn()[]()(0)dftLsFsfdt22'2()[]()(0)(0)dftLsFssffdt如果初始条件不为0:如果初始条件为0:第二章自动控制系统的数学模型3)积分定理)(1)]([1])([0sFstfLsdttfLT重复运用可以推出：)(1)(000sFsdttfdtdtLnnttT1()(0)[()]FsfLftdtss1222()(0)(0)[()]FsffLftdtsss如果初始条件为0:如果初始条件不为0:第二章自动控制系统的数学模型4)初值定理函数f(t)在t=0时的函数值,可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘以s取s→∞时的极限而得到,即)(lim)0()(lim0ssFftfst第二章自动控制系统的数学模型)(lim)()(lim0ssFftfst5)终值定理函数f(t)在t→+∞时的函数值(即稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘以s取s→0时的极限而得到，即