第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2

第二章窗口Fourier变换与连续小波变换（1）时一频局部化的要求Fourier分析能有效地分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主要谐波成分．然而，在实际应用中，我们常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号、语音信号、探地信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时间段上．上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时一频局部化的要求．（2）Fourier分析的不足Fourier分析对时一频局部化要求是无能为力的。只要仔细观察分析Fourier变换表达式即可明白其中的原因，时域中某点的局部变化会影响频域全局；同样，频域中的某点的局部变化也会影响到全部时域．因此，Fourier分析方法没有时一频局部化功能．§2.1窗口Fourier变换窗口Fourier变换也叫Gabor变换，是Gabor在1946年提出的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性和某些频率出现在哪些时段上。定义2.1设g(x)满足:,则称:dxxgR2)(0RxifdxebxgxfbG)()(),((式2-1)为(f(x)的)窗口Fourier变换，称g(x)为窗函数。(注意式2-1与前面傅立叶变换定义相差了个系数)一般窗函数g(x)是选择在|x|x0时快速趋向于0的“钟形”函数。这样，信号f(x)在乘以平移滑动的窗函数g(x-b)后，便有效地抑制了|x-b|x0外的信号，所以f(x)g(x-b)的Fourier变换反映了在时刻x=b附近的局部频谱信息，从而达到时频局部化的目的。回顾卷积定理：gfgfF2][gfgfF21][由定义2.1知：RxifdxebxgxfbG)()(),()()(2bxgxfF)()(bxgFf))(()(ibegf(式2-2)(2.2)式表明Gf(ω,b)是频谱F[f]经过F[g]平移后卷积的结果。如果F[g]有局部化的作用，那么频域信息F[f]就在ω附近被局部化了。Rbyidyeygyf)()()(WFT实现时域和频域局部化的基本思想是重要的．在时域局部化方面，它通过引进的时窗函数g(x)，使时域信号f(x)在x=b附近被局部化为f(x)g(x-b)．在频域局部化表现方面，要观察Gf(ω,b)的表现，特别是对于某个确定的ω处关于Gf(ω,b)的表现．如果F[g]有局部化的作用，那么频域信息F[f]就在ω附近被局部化了(见(式2-2)）。为了寻求窗函数g(x)所应满足的条件，下面先介绍一些概念。定义2-2:设g(x)是窗函数，则有：RRdxxgdxxgxt22)()(时窗中心：(式2-3)时窗半径：21222)()()(RRdxxgdxxgtxt(式2-4)1)(2Rdxxg令：Rdxxgxt2)(2122)()(Rdxxgtxt则：(式2-７)(式2-６)(式2-５)时窗函数g(x)的窗口为：tttt,(式2-8)时窗宽度为2△t。由时窗中心和时窗半径的定义得到g(x)与g(x-b)的时窗中心和时窗半径的关系如下：bttxgbxg)]([)]([(式2-9))]([)]([xgbxgtt(式2-10)这两条性质说明时窗函数的时窗中心随平移参数b移动，移动方向与窗函数移动一致，但时窗宽度保持不变．这些概念可通过力学中的重心和转动惯量来解释。时窗中心可以看成窗函数曲线围成的面积的中心，而时窗半径可认为是全部质量绕时窗中心旋转时的回旋半径，半径大则面积较扩散，半径小则面积较集中定义2.3设g(x)是时窗函数．称G(ω)=F[g(x)]为频窗函数。称RRdGdG22)()(21222)()()(RRdGdG频窗中心：频窗半径：(式2-11)(式2-12)当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频窗中心和频窗半径：aGaG)]([)]([)]([)]([GaG(式2-13)(式2-14)由定义知，g(x)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用。在时频坐标系中，时窗一频窗共同作用而形成时频窗(如图).由于时窗中心和时窗半径均要求为有限值，故有:dxxgxR22)((式2-15)为了简便，要求:xxxg,1)(3同样可得到对频窗函数的要求:,1)(3G若g(x)和F[g(x)]能分别起着时窗和频窗的作用，则可简称g(x)为窗函数，它的时域局部化作用被限制在时窗区间范围内；它的频域局部化作用被局限在频窗区间范围内．于是，可构建时一频坐标系，用时窗区间和频窗区间形成一个矩形时－频窗．时一频窗是窗函数的时一频局部化功能的几何直观的描述．另外在时窗中心和频窗中心有移动的情形下，其时窗半径和频窗半径是不会改变的．换句话说，在WFT的时一频坐标系中，任意的时窗面积是不变的．tttt,,例2-1:Gauss函数作为窗函数,求时窗中心、时窗半径及频窗中心、频窗半径。Gauss函数为:0,21)(42aeaxgaxadxeadxxgRaxR22141)(222解:841)(22222adxexadxxgxRaxR0)(2dxxgxR所以:att,0频窗函数:22][21)(4aaxeeaGadGR2)(20)(2dGRaadGxR241)(22a21,0所以:时一频窗面积:2)2)(2(tA由此例看出，时窗半径与频窗半径成反比，即时窗减小必导致频窗增大。这就是说我们不能同时要求时窗半径、频窗半径变小来提高时频域的分辨率。这个结果具有一般性，它就是著名的Heisenberg测不准原理。Rytydte2/12/12Rytydtet2/32/12212积分公式:定理2.1：设),()(2RLxf),()(2RLxxf),()(2RLf同时有：那么：2)2)(2(tA而且等号成立当且仅当：),()(bxgcexfiax其中g(x)是Gauss函数，a0,c≠0,a、b∈R。这个定理称为：Heisenberg测不准原理，它也表明Gauss函数是最优窗函数。（本定理的证明参见《小波理论与应用》（成智礼）P28页)窗口Fourier变换的反演公式:任何一种积分变换，只有当它具有反演公式时，它才会有意义．相应于式(2.l)的反演公式为：RRxifdbdebxgbGAxf)(),(21)((式2-16)(式2-17)RRdxxgdbbxgA22)]([)]([其中：注意:(1)对于窗函数，总可以假定A=1。(2)(式2-16)在教材：小波分析（王经民）第四章写错证明：由于：RxifdxebxgxfbG)()(),(由傅立叶反变换公式可得：RxifdebGbxgxf),(21)()(RxifdebGbxgbxgxf),(21)()]()[(2两边同乘以g(x-b)，然后对b积分：RRxifdbdebxgbGAxf)(),(21)(WFT也有类似的乘积定理和Parseval公式：RRRhfdxxhxfdbdbGbG)()(2),(),(RRRfdxxfdbdbG22)(2),(证明：（课后练习）提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式展开，然后对b积分，并假定A=1。WFT的某些局限性就时-频局部化而言，WFT在Fourier分析的基础上取得了本质的进步．用WFT分析信号可在时-频窗这个局部范围内观察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频窗面积都有A≧2。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗函数已经是最好的结果了．时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上．低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄；高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗宽．WFT在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。§2.2连续小波变换WFT在时一频分析中，不能根据高、低频信号的特点，自适应地调整时-频窗，它在时-频局部化的精细方面和灵活方面表现欠佳．在实际的时-频局部分析中，需要一种自适应的时-频窗，在分析低频信号时，它的时窗宽而频窗窄；在分析高频信号时，它的时窗窄而频窗宽，为此我们引进连续小波变换的概念。1、连续小波变换定义2.4设f(x)，ψ(x)是平方可积函数，且ψ(x)的傅立叶变换满足容许性条件：dR21)((式2-18)则f(x)的连续小波变换记为：dxabxxfabafWR)()(1),)(((式2-19)称ψ(x)为小波函数或小波母函数、a0为尺度因子，b为平移因子。“容许性”条件是为了保证逆变换的存在性。连续小波变换的定义(4.19)式也可通过内积表示为:)(),(),)((,xxfbafWba(式2-20))(1)(,abxaxba(式2-21)其中：(式2-21)表示由一个单个小波函数ψ(x)，经过平移和伸缩构成的小波函数族，其中a称为尺度因子，b称为位移因子。同时有：)()(,xxba小波：（1）小是指只在很小的区间不为零；（2）波是指平均值为零，有波的特征。用连续小波变换的内积表达形式，可粗略地对连续小波变换作解释：数学上的内积可表示两个元素的“相似”程度，因此(Wψf)(a,b)表示f(x)与ψa,b(x)的“相似”程度。在这里，由于参数a、b是连续变化的，因此（4.19)所表达的积分变换叫连续小波变换。当a〔al）增大时，(4.19)式表示用伸展了的ψ(x)去观察f(x)；反之，当a(a1)变小时，(4.19)式则表示用收缩了的ψ(x)去观察f(x)的局部。在尺度因子a由大变小的过程中．f(x)的小波变换既反映了概貌，也反映了细节的全部信息。从这个意义上说，小波变换是一架“数学放大镜”，也是“数学显微镜”。小波变换卷积型定义:为了使用方便，有些学者主张对CWT采用如下卷积型定义：设f(t)为R上的平方可积函数，h(t)为母小波，记h(t)以尺度s的扩张函数为:)(1)(sthsths则f(t)与hs(t))的卷积也可定义为f(t)的连续小波变换，并记为:RssdtstxhtfsthtfxfW)()(1)()()(两定义的等价关系:令a=s,b=x,同时h(t)、ψ(t)满足共轭镜像关系：)()(tth),)()(()()(1)()(1))((21bafWasignadtabttfadtstxhtfsxhfRRs故两种CWT的定义仅相差一比例因子，其实质是完全等价的。2、连续小波变换具有以下性质：性质1(线性性)设f(x),g(x)是R上的平方可积函数,k1,k2是实常数，则:),)((),)((),))(((2121bagWkbafWkbagkfkW性质2(平移性)设f(x)是R上的平方可积函数,则:),)((),))(((00xbafWbaxxfW这些性质可直接由小波变换的定义验证。性质3(相似性，伸缩性)设f(x)是R上的平方可积函数,则:0),,)((1),))(((bafWbaxfW证明：后面的证明过程中要利用δ函数及其有关性质，下面对它进行介绍。考虑下面问题：(1)