9(1)多元函数的基本概念

1第九章多元函数微分法及其应用DxyzOMxyP),(yxfz2第一节多元函数的基本概念区域多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业functionofmanyvariables第八章多元函数微分法及其应用3一、区域1.平面点集n维空间一元函数1R平面点集2Rn维空间nR实数组(x,y)的全体,即},),({2RyxyxRRR建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作}.),(),({PyxyxE具有性质(1)平面点集二元有序4邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：,0邻域的点P,0).(0PU有时简记为2R称之为①将邻域去掉中心,注称之为去心邻域.),(0PUOxy.P0点集称为点P0的邻域.δ0PP})()(),({),(20200yyxxyxPU即思考：空间中？5②在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.6(1)内点(),UPEE(2)外点如果存在点P的某个邻域),(PU则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点2RP2RE与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:若存在点P的某邻域则称P为E的内点.1P)(1P)(2P2P3P)(3PE的边界点的全体称为E的边界,记作.E使U(P)∩E=,7聚点如果对于任意给定的,0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点，则称P是E的聚点.例如,设点集(P本身可属于E,也可不属于E)},21),({22yxyxE,),(200RyxP点,212020yx若则P为E的内点;12020yx若,22020yx或则P为E的边界点,也是E的聚点.E8区域(重要)连通的开集称区域连通的.如果点集D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如}0),({yxyx开集若E的任意一点都是内点,称E为开集.0yx0yxOxy9开区域连同其边界,称为有界区域否则，称为都是闭区域.},41),({22yxyx}0),({yxyx如总可以被包围在一个以原点为中心、有限大的圆内的区域,称为半径闭区域.有界区域.无界区域.思考：点集1),(xyx是区域吗？10OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域11二、多元函数的概念1.二元函数的定义引例圆柱体的体积定量理想气体的压强hr12按着这个关系有确定的点集D称为该函数),(yxfz))((Pfz或称为该函数的Dyxyxfzz),(),,(则称z是x,y的定义1若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念记为称x,y为的数集二元函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.13二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为函数在点处的函数值),(yxfz),(00yxP),(00yxf).(0Pf或类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的14例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域zxy和00yx00yx即定义域为,0xy152.二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.),(yxfzDxyzOMxyP16三、多元函数的极限讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的),,(yxfz.),(),(000时的极限即yxPyxP回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.注,,00yyxx当方向有任意多个,),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy17,0,)()(02020yyxx当,0),(yxfzA为则称Ayxfyxyx),(lim),(),(00记作)0(),(Ayxf或)(定义2有成立.的极限.时当),(),(00yxyx设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义),()(yxfPf义域为D,如果存在常数A,AyxfAPf),()(APfPP)(lim0也记作).()(0PPAPf或18说明(1)定义中0PP(2)二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx(doublelimit)的方式是任意的；二重极限.19则当22)0()0(0yx,02222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim(,)lim()sin0xyxyfxyxyxy例证01sin)(2222yxyx22yx22)0()0(yx2取01sin)(2222yxyx有证毕.)0(22yx22221sinyxyx20相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf21确定极限不存在的方法则可断言极限不存在;),(yxP令若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,使但两者不相等,00(,)(,)lim(,)xyxyfxy处极限不存在.存在,在点),(yxf),(000yxPkxy),,(000yxP趋向于沿直线22设函数证明:当当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向00lim(,0)xyfx00lim(0,)yxfy也有0,00,),(222222yxyxyxxyyxf证22000lim0xyxx00lim0x22000lim0yxyy00lim0y时，函数的极限不存在.(,)(0,0)xy无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例23函数的极限存在且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向22(,)(0,0)limxyxyxy22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,特殊方向24四、多元函数的连续性设二元函数则称函数定义3),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyxP0(x0,y0)为D的聚点,且P0∈D.如果连续.),(),(000yxPyxf在点的定义域为D,),()(yxfPf如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.否则称为不连续,此时称为D的间断点.25在单位圆122yx处处是间断点.2211sin),(yxyxf函数(0,0)点是该函数的间断点.函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf不同在哪?想一想二元函数的间断性与一元函数的间断性26称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点27有界闭区域上连续的多元函数的性质有界，且能取得它的最大值和最小值．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,必取得介于最大值和最小值之间的任何值值.28极限是否存在？24200limyxyxyx取,kxy解242yxyx),(lim0yxfkxyx当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,)0,(lim0xfx0222243kxkxxkxkx),0(lim0yfy00lim220kxkxkxyx29五、小结多元函数的极限多元函数连续性有界闭区域上连续多元函数的性质(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异)多元函数的概念预备知识(内点,边界点,聚点,开集,连通,区域)30若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题131极限不存在.取,2xy242(,)(0,0)limxyxyxy444(,)(0,0)limxyxxx极限是否存在？242(,)(0,0)limxyxyxy21思考题232多元函数的极限的基本问题(1)研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*(,)(0,0)lim(,),xyfxy不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2)求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(limyxf0x0kxy(,)(0,0)lim(,),xyfxy33例求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyx,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu22||22xxyyxyxyxyx2200)sin(lim,222yxyx备用题34多元函数的基本概念例求极限.42lim00xyxyyx解将分母有理化,得42lim00xyxyyxxyxyxyyx)42(lim00)]42([lim00xyyx435想一想如何证明f(x,y)在000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设证,022时当yx,)0,0(),(时故当yx.)0,0(),(也连续在下面证明yxf多元函数的基本概念xOy面上处处连续?22)(sin),(yxyxxyyxf是初等函数，),(yxf处处连续.36又02||lim00yxyx于是0)(sinlim2200yxyxxyyx.)0,0(),(也连续在从而yxf即证明了f(x,y)在多元函数的基本概念由于22)(sinyxyxxy22)(yxyxxy2yx)0,0(fxOy面上处处连续.证明f(x,y)在000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设xOy面上处处连续?