平面汇交力系与平面力偶系

学习要点：1.掌握平面汇交力系合成的解析法及平衡方程；2.掌握平面力偶系的合成与平衡方程；3.了解力对点之矩、力偶及力偶矩的概念。§2.1平面汇交力系的合成与平衡条件平面汇交力系：作用于同一物体上的各力的作用线都分布在同一平面内，且汇交于一点的力系。GDABCSASB各力的汇交点工程实例αsinFβcosFYαcosFX===jYFiXFyx=,=1.平面汇交力系合成的解析法解析法：是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成与平衡条件的方法。1）力在坐标轴上的投影2）平面汇交力系合力的解析法合力投影定理：合力在任意轴上的投影等于各个分力在同一轴上投影的代数和。yxOABFFxFyabXa1Yb1BACDF3F2F12222∑∑iiRYXFFFyRxRX1OxyFRbdacX2X3FRyY1Y2Y3合力FR的大小为：FRx∑∑iiRxRyXYFFtg合力FR与x轴所夹锐角α为：合力FR的解析表达式为：∑∑+=+=jYiXFFFyRxRR2.平面汇交力系平衡方程∑∑00iiYX02222∑∑iiRYXFFFyRxR∑∑2121inyRinxRYYYYFXXXXFα例1：用解析法求图示平面汇交力系的合力。解：N.FFFRyRxR3171224131293112..arctgFFarctgRxRyFR45454545606030304444333322221111sinFFcosFFsinFFcosFFsinFFcosFFsinFFcosFFyxyxyxyxN.FFN.FFyiyRxixR31123129∑∑例2：曲柄冲压机如图所示，冲压工件时冲头B受到工件的阻力Q=30kN。求当=12º时连杆AB所受的力及导轨的约束力。解：（1）根据题意，选取冲头B为研究对象。（2）画受力图。作用于冲头B上的力有工件的阻力Q、导轨的约束力N、连杆AB给冲头的力SAB。这三个力组成一个平面汇交平衡力系。（3）列平衡方程。选坐标轴如图所示，由平衡方程得：0000acosSQYasinSNXABABkN..cosacosQSAB7309780301230kN.sin.asinSNAB38612730解：（1）选刚架为研究对象。（2）画受力图。根据三力汇交定理，RA的指向如图所示。（3）列平衡方程。例3：如图所示的平面刚架，在B点处受到一水平力P=20kN的作用，刚架自重不计，试求A、D处的约束力。05440∑ADRRYkN.PRA42225kNRRAD105105480∑ARPX§2.2平面力系中力对点之矩的概念及计算1.平面力系中力对点之矩的概念大小：转向：逆时针为正，顺时针为负单位：牛·米(N·m)或千牛·米(kN·m)矩心力臂SFdFMo2)(定义：力F使物体绕O点转动效应的物理量称为力F对O点的矩，简称力矩。点O称为矩心；点O到力F作用线的垂直距离称为力臂。特别注意：在平面问题中，力矩是一个代数量。1）力F对点O之矩不仅取决于力的大小，还与矩心位置有关。2）力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力臂和力的大小均未改变。3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零。4）互相平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。5）作用于物体上的力可以对物体内外任意点取矩计算。2.合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各分力对该点之矩的代数和，即力矩的性质∑)(=)(ioRoFMFM合力矩定理的证明：根据合力投影定理可知：bcdoxBACD1F2FROcObOd根据力对点之矩可得：OdOAOADRMOcOAOACFMObOAOABFMOOO22221所以：21FMFMRMOOO例题：图示圆柱齿轮，受到啮合力Fn=1400N的作用，齿轮的压力角α=20°，节圆半径r=60mm，试计算力Fn对轴心O的力矩。解：1）直接法：根据力矩定义求解。cosrFhFFMnnno2）合力矩定理：将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr，即rtnFFFcosαrFrFFMFMFMntrotono0得，由合力矩定理∑ioRoFMFM§2.3平面力偶系合成与平衡条件1.力偶的概念2.力偶的性质3.平面力偶系的合成4.平面力偶系的平衡1.力偶的概念作用在同一物体上的一对等值、反向且作用线互相平行的两个力F和F´组成的力系(F，F´)称为力偶。力偶中两个力所在的平面称为力偶的作用面。力偶中两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。注意：力对刚体的转动效应与矩心密切相关，是一个固定矢量；而力偶对刚体的转动效应与矩心无关，是一个自由矢量。ABFF´大小：转向：逆时针为正，顺时针为负单位：牛·米(N·m)或千牛·米(kN·m)力偶作用平面力偶的转向力偶的大小力偶矩：力偶对作用平面内任一点的矩称之。FdMorFdFFM)',(d作用平面力偶矩是一个代数量2.力偶的性质FoF'3）只要力偶矩大小保持不变，力偶可以在其作用面内任意移动，而且可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。yxoF′dF1）力偶不能用一个力来代替；力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和恒为零。2）力偶对其作用面内任意一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。xddFdFxFFxdxFFxFMFMoo''')(')'()(平面力偶系：刚体上作用在同一平面内的一组力偶称之。3.平面力偶系的合成==212121)(mmdPdPdPPRdM22221111dFdPmdFdPm，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩代数和等于零，即0imM4.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的合成：只能合成为一个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩代数和。imM例1：在汽缸上要钻四个相同的孔，若钻每个孔的切削力偶矩m1=m2=m3=m4=m=—15N·m，当用多轴钻床同时钻这四个孔时，问工件受到的总切削力偶矩是多大?解：作用在汽缸上的4个力偶组成一个平面力偶系，故该力偶系的合力偶矩为：mNmmmmmmMi6015444321∑负号表示合力偶矩顺时针方向转动。知道总切削力偶矩之后，就可考虑夹紧措施，设计夹具。（2）画受力图。由支座A、B的约束性质可知，RB的作用线为垂直方向，而RA的作用线方向不定。由于力偶只能与力偶相平衡，因此力RA与力RB必定组成一个力偶，其大小满足RA=RB，指向如图所示。AB例2：梁AB受一力偶作用，其矩m=—100kN·m。尺寸如图所示，试求支座A、B的反力。kNRRkNRmRmABAAi2020050RARB解：（1）取梁AB为研究对象（3）列平衡方程求未知量。由平面力偶系的平衡方程有：ABmm5m例3：图示电动机轴承通过联轴器与工作轴相连接,联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径AC=BD=150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m=2.5kN·m，试求每个螺栓所受的力为多少?0imBDACBDPACPm0kNACmP33.815.025.22(每个螺栓所受的力)解：以联轴器为研究对象。假设4个螺栓的受力均匀，即P1=P2=P3=P4=P，则其组成两个力偶与电动机传给联轴器的力偶m平衡，于是有：1.平面汇交力系的合成平面汇交力系只能合成一个合力FR，合力等于力系中各力的矢量和，即。合力的大小和方向：*在解析法中按下列公式计算：2.平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的充要条件是合力等于零：*在几何法中平衡的几何条件是力多边形自行封闭；*在解析法中按平衡方程计算：0RF∑iRFF∑∑∑∑2222XYFFtgYXFFFxRyRRyRxR本章总结00iiYX且3.力对点的矩即力矩的概念SFdFMO24.力偶的概念力偶是由等值、反向、作用线互相平行的两个力所组成的特殊力系。它对物体产生的转动效应用力偶矩来度量。力偶矩为代数量，其大小（逆正顺负）为：FdMorFdFFM±=±=)',(力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。在平面问题中是代数量，可按下式计算（逆正顺负）：平面力偶系只能合成为一个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即imM5.平面力偶系的合成6.平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩代数和等于零。0imMP262-3,2-5,2-7作业