任意角三角函数公开课

1.2.1任意角的三角函数东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。新课引入日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：圆周上一点的旋转运动.请看下面实例.新课引入问题探索问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？PO.10m20m300P1M问题探索问题2：设转动度后小明离地面的高度为h,为00～900,试着写出h和的关系式。POP1问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？MP2在初中阶段,我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下：cba①正弦函数：②余弦函数(邻边比斜边)cosaBc③正切函数：(对边比邻边)tanbBaBAC┏(对边比斜边)sinbBc你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？我们先在平面上建立一个直角坐标系xoy,将锐角α的顶点放在坐标原点,始边放在x轴的非负半轴上,设OP为它的终边,如右图：xyo用坐标形式表示锐角三角函数:sincostanyryxryx答案P（x,y)Ox的终边M设点P(x,y)是锐角α终边上的任意一点，记OP=r（r≠0）则：22rxy【探究】比值是否因为P(x,y)点在终边上的位置发生变化而变化？,,yyxrrx结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置变化而改变.xyoPM1P1M的终边cosxrsinyαrtanyxr=1cosxsinαytanyx当点P(x,y)满足x2+y2=1时,正弦、余弦、正切函数值会有什么样的结果？xA(1,0)yOP(x,y)αM结论：锐角三角函数可以用终边与单位圆的交点的坐标来表示。sinαycosxtanyxyxO(,)Pxy设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:y叫做α的正弦x叫做α的余弦叫做α的正切xy推广——任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义:正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。————三角函数xysinxycosxytan定义域：R定义域：R定义域：},2|{Zkkxx如何求α角的三角函数值?关键：求出α角的终边与单位圆的交点。例1：求的正弦,余弦和正切值.355312AB1r13,22P2335siny2135cosx335tanxy32O练习：摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明第一次到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、正切值吗?问题回顾问题2：设转动度后小明离地面的高度为h,为00～900,试着写出h和的关系式。PO.P1问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？20+10sinh20+10sinhPOPM20m10m20+10sin是否一定成立？h角转到第二象限时：20hPM20pysin10py20+10sin成立hPOPM20m10m20+10sinh角转到第三象限时：20hPM20pysin10py20+10sin成立h当角转到第四象限的时候，同学们可以证明，该式也一定成立。现代三角学的确认直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌．三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值．这方面的工作是由欧拉作出的．1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”．具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值．若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化．欧拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科．正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算．一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出．这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了．严格地说，这时才是三角学的真正确立．谈一下你的收获!0.AB0.ABDO.xy古希腊古印度初中高中•莱昂哈德·欧拉•（1707—1783）数学的概念是有生命的，发展的.