3-3 线性系统的时域分析-3(4,5)

chpt31§3-4高阶系统的时域分析chpt32一、三阶系统的单位阶跃响应设闭环传递函数式中，s0＞0,ζ＜1当输入为单位阶跃函数时，)2)(()()()(22002nnnssssssRsCs220111)(nnnnjsCjsBssAssCchpt33取拉氏反变换，（且令b=s0/ζωn,）并整理得由于表明（1）实数极点s=s0可使单位阶跃响应的超调量下降，并使调节时间增加。（2）当系统阻尼比ζ不变时，随着b值的下降，超调量不断下降、而峰值时间、上升时间、和调节时间则不断加长。在b＜1时，三阶系统将表现出明显的过阻尼特性。]1sin1)1)2((1cos)2([1)2(1)2(11)(22222220tbbtbbbbeebbthnnttsn0)1()1(1)2(2222bbbchpt34（图3-27三阶系统的单位阶跃响应曲线ζ=0.5）chpt35二、高阶系统的单位阶跃响应（图3-28控制系统）其闭环传递函数式中，K=b0/a0；zi为M(s)=0的根，称为闭环零点；si为D(s)=0的根，称为闭环极点。niimiinnnnmmmmsszsKasasasabsbsbsbsDsMsHsGsGsRsCs1111101110)()()()()()(1)()()()(chpt36当输入为单位阶跃函数时，式中，q+2r=n,q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理得表明（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。（2）零极点对系统性能的影响。qjrkkkkkkjjrkkkkqjjmiissCsBssAsAssssszsKsC112201221121)2()()()(0,)1sin(1)1cos()(2121210tteBCteBeAAthkktrkkkkkkkrkkktkqjtsjkkkkjchpt37chpt38三、闭环主导极点闭环主导极点：在所有的闭环极点中，距虚轴最近、周围没有闭环零点、而又远离其它闭环极点的极点。它所对应的响应分量在系统的响应过程中起主导作用。高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点:系统单位阶跃响应的近似表达式：上式中的振幅与相位已经考虑了闭环零点与非主导极点对响应过程的影响。10,2,1djs0,)()(cos)()(21)(11)()(11)()(11)()()(1111112121tsDssMtesDssMtcssssDsMssssDsMsssNsMsCdtsssschpt39四、高阶系统的动态性能估算(非主导极点实部的模比主导极点实部的模大三倍以上)1、峰值时间的计算令h´(t)=0，得结论：（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，系统响应速度越快；（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，使系统响应速度变缓；（3）若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削弱；（4）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则tp=π/ωd。niimiidpsszst3111)()(1chpt3102、超调量的计算结论：（1）闭环零点会减小系统阻尼。（2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。（3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则%100%111313ptmiimiiniiniiezzssss%100%21/echpt3113、调节时间的计算结论：（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量和调节时间越大；（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可减小系统的超调量和调节时间。miimiiniiniinszzsssst1112122ln1chpt312§3-5线性系统的稳定性分析chpt313一、稳定性的基本概念稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。（图3-29单摆）大范围稳定的系统：扰动引起的大初始偏差下稳定。小范围稳定的系统：（非线性系统）平衡状态稳定性与运动稳定性线性控制系统的稳定性：动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡点）。渐近稳定chpt314二、线性系统稳定的充分必要条件以脉冲响应为例：即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。0)(limtctchpt315闭环系统特征方程的所有根均有负实部；或闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面12211()()()(2)miiqrjkkkjkKszCSssss22,cos(1),sin(1)jkkkkstkkkkeee其运动模态为：充分必要条件为：输出量：chpt316三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）1、赫尔维茨稳定判据线性系统稳定的必要条件：线性系统特征方程的各项系数为正数。3121,1,,100010,,........,(1)nnniijijiijijkijijknnniiaaasssssaaaasa101()....0nnnDSasasa特征方程：chpt317线性系统稳定的充分且必要条件：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式Δn及其顺序主子式Δi(i=1,2,…,n-1)全部为正。13502413021......00......000.......0000.......00........nnaaaaaaaaaaaan1311202,0,......aaaaachpt318当n=3时，即特征方程的各项系数为正，且a1a2-a0a3＞0；当n=4时，即特征方程的各项系数为正,且Δ2=a1a2-a0a3＞0，以及Δ2＞a1²a4/a3。李纳德-戚帕特稳定判据：可以减少一半计算工作量。例如：当n=2时，即特征方程的各项系数为正；chpt319例3-7chpt3202、劳思稳定判据：劳思表中第一列各值为正。chpt321与赫尔维茨行列式的关系：a1=Δ1,c13=Δ2/Δ1,c14=Δ3/Δ2,c15=Δ4/Δ3,…,c1,n=Δn-1/Δn-2,c1,n+1=Δn/Δn-1高阶系统特征方程：采用递推劳思表。递推公式:,,6,4,2;1,,2,1112010jniaaaaaijiijijiiichpt322chpt323四、劳思稳定判据的特殊情况1、劳思表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零chpt3242、劳思表中出现全零行以全零行上面一行的系数构造一个辅助方程：F(s)=0,并对之求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，继续运算。