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长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学一、数列极限的定义概念的引入R正六边形的面积A1正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS正十二边形的面积A2计算圆的面积长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学1.数列的概念按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},第n项xn叫做数列的一般项.2,4,8,,2n,;1,1,1,,(1)n1,.;,21,,81,41,21n;,)1(,,34,21,21nnn注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx(2).数列是整标函数),(nfxn.Nn长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,nxnn1)1(1无限接近于1.引例观察数列})1(1{1nnn当时的变化趋势.,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx1nxnnn11)1(1长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学2.数列极限的通俗定义当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnnlim.当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.因此,若n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近常数a.长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学3.数列极限的精确定义设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xna|都成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为Axnnlim或(n)nxA如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说limnnx不存在极限定义的简记形式0,NN,当nN时,有|xna|.Axnnlim长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学注：(1).的任意性，它是描述xn与a的无限接近程度.(2).N与ε有关，但不唯一.(3)几何解释:x1x2x2Nx1Nx3x2aaa(4).数列极限的定义未给出求极限的方法.当nN时,所有的点xn都落在开区间(a-,a+),只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学证明例1证明.1)1(lim1nnnn对于任意0,要使|xn-1|,只要n1,即1naxn1)1(1nnnn1分析,0],1[N取则当nN时,就有1)1(1nnn.1)1(lim1nnnn即长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学例2证明n2(1)limlim0.(1)nnnxn分析证明axn0)1()1(2nn2)1(1n.11n,0(设),1要使,11n或,11n只要||,nxa,01[1],N取则当nN时,就有axn2)1(1n1.1n所以.0)1()1(lim2nnn长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学例3设|q|1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.分析,0011nnnqqx,0||,nxa要使只要.1nq.lnln)1(qn取自然对数,得,0ln,1qq,lnln1qn证明则当nN时,就有,0ln[1],lnNq取10.nnxq所以.0lim1nnq长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.证明:假设同时有axnnlim及bxnnlim,且ab.按极限的定义,对于2ab0,存在充分大的正整数N,使当nN时,同时有|xna|2ab及|xnb|2ab,因此同时有2abxn及2abxn,这是不可能的.所以只能有a=b.长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学例4.证明数列是发散的.证明:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学定理2(收敛数列的有界性)收敛数列{xn}一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,有从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.注此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn数列长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学定理3(收敛数列的保号性).若时,有证:对a0,取推论:若数列从某项起长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学子数列的收敛性,,,,,21nixxxx注：例如，,,,,21knnnxxx所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.在子数列中，一般项是第k项，而在knxknxknxnxkn.knk原数列中却是第项，显然，长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.,axkn证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk******************************************NNx长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.故数列发散.nx1,1122kkxx证：因为当时,k证明数列是发散的.),2,1()1(1nxnn长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限思考与练习如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.长春工业大学高等数学长春工业大学高等数学作业：p-30习题1-23(2)(3),4,5