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第一章 数与式１ 第一章 数与式§１.１ 实 数４考点清单考点一 实数 １.实数的分类实数正实数正有理数正整数① 正分数 {正无理数{零负实数负有理数② 负整数 负分数{负无理数{ìîíïïïï２.实数与数轴数轴的三要素为原点、③ 单位长度 和正方向.数轴上的点与④ 实数 一一对应.３.实数大小的比较(１)在数轴上表示两个数的点ꎬ右边的点表示的数比左边的点表示的数⑤ 大 .(２)正数大于⑥ 零 ꎬ负数小于零ꎻ两个正数ꎬ绝对值大的较⑦ 大 ꎻ两个负数ꎬ绝对值大的较小.(３)设ａꎬｂ是任意两个实数ꎬ若ａ－ｂ０ꎬ则ａｂꎻ若ａ－ｂ＝０ꎬ则ａ⑧ ＝ ｂꎻ若ａ－ｂ０ꎬ则ａ⑨ ｂ.考点二 实数的有关概念 １.实数ａꎬｂ互为相反数ꎬ则ａ＋ｂ＝⑩ ０ .２.实数ａꎬｂ互为倒数ꎬ则ａｂ＝ １ .３.｜ａ｜＝ａ(ａ０)ꎬ ０ (ａ＝０)ꎬ －ａ (ａ０).{考点三 实数的运算 １.求ｎ个相同因数ａ的积的运算叫做 乘方 ꎬ乘方的结果叫做幂.２.负数的奇次幂是负数ꎬ负数的偶次幂是正数ꎬ正数的任何次幂都是正数ꎬ０的任何正整数次幂都是０.３.当ａ≠０时ꎬａ０＝ １ ꎬａ－ｐ＝ １ａｐ 或 １ａ()ｐ ()(ｐ是正整数).４.正数有两个平方根ꎬ负数没有平方根ꎬ０的平方根是０ꎬ正数的正的平方根叫做 算术平方根 .５.若ｂ３＝ａꎬ则ｂ叫做ａ的立方根.６.实数范围内常用的运算律有交换律、 结合律 、 分配律 .７.实数范围内混合运算的顺序是先乘方、 开方 ꎬ然后乘、除ꎬ最后加、减.同级运算从左到右依次进行ꎬ有括号的先算括号里面的.８.ａ２＝｜ａ｜＝ ａ (ａ≥０)ꎬ －ａ (ａ０).{９.一般地ꎬ二次根式加减时ꎬ可以先将二次根式分别化为 最简二次根式 ꎬ再将被开方数 相同 的二次根式进行合并.１０.二次根式的乘法:ａｂ＝ ａｂ (ａ≥０ꎬｂ≥０)ꎻ二次根式的除法:ａｂ＝ ａｂ (ａ≥０ꎬｂ０).易混清单 １.与实数ａ有关的概念及简单运算 名称ａ 相反数绝对值倒数算术平方根平方根立方根ａ０－ａａ１ａａ±ａ３ａａ＝０００无０００ａ０－ａ－ａ１ａ无无３ａ ２.等于本身的数汇总名称相反数绝对值倒数算术平方根平方根立方根等于本身的数０非负数±１０ꎬ１００ꎬ±１２ ５年中考３年模拟５方法一 数轴的几何意义的应用 任何一个实数都可以在数轴上表示出来ꎬ数轴上的每一个点对应一个实数ꎬ即数轴上的点与实数一一对应ꎻ数轴上原点左边的点表示负数ꎬ原点右边的点表示正数.例１ (２０１６河北ꎬ１１ꎬ２分)点ＡꎬＢ在数轴上的位置如图所示ꎬ其对应的数分别是ａ和ｂ.对于以下结论:甲:ｂ－ａ０ꎻ乙:ａ＋ｂ０ꎻ丙:｜ａ｜｜ｂ｜ꎻ丁:ｂａ０.其中正确的是( )Ａ.甲乙Ｂ.丙丁Ｃ.甲丙Ｄ.乙丁解析 Ｂ在Ａ的左边ꎬ则ｂ－ａ０ꎬ甲正确ꎻｂ是负数ꎬａ是正数ꎬ且ｂ的绝对值大于ａ的绝对值ꎬ则ａ＋ｂ０ꎬ乙错误ꎬ丙正确ꎻａꎬｂ异号ꎬ则两数的商小于０ꎬ丁错误.故正确的是甲和丙.答案 Ｃ 变式训练 (２０１７河北ꎬ２０ꎬ８分)在一条不完整的数轴上从左到右有点ＡꎬＢꎬＣꎬ其中ＡＢ＝２ꎬＢＣ＝１ꎬ如图所示.设点ＡꎬＢꎬＣ所对应数的和是ｐ.(１)若以Ｂ为原点ꎬ写出点ＡꎬＣ所对应的数ꎬ并计算ｐ的值ꎻ若以Ｃ为原点ꎬｐ又是多少?(２)若原点Ｏ在图中数轴上点Ｃ的右边ꎬ且ＣＯ＝２８ꎬ求ｐ.解析 (１)以Ｂ为原点ꎬ点ＡꎬＣ分别对应数－２ꎬ１.(２分)ｐ＝－２＋０＋１＝－１ꎻ(４分)以Ｃ为原点ꎬｐ＝(－１－２)＋(－１)＋０＝－４.(６分)(２)ｐ＝(－２８－１－２)＋(－２８－１)＋(－２８)＝－８８.(８分)方法二 绝对值、平方、算术平方根的非负性的应用 对于任意实数ａꎬ有｜ａ｜≥０ꎬａ２≥０ꎬ当ａ≥０时ꎬ有ａ≥０.若将绝对值、平方、算术平方根组成和为０的等式ꎬ则满足“若ｎ个非负实数之和为０ꎬ则这ｎ个非负实数一定都为０”.例２ (２０１６江苏泰州ꎬ６ꎬ３分)实数ａ、ｂ满足ａ＋１＋４ａ２＋４ａｂ＋ｂ２＝０ꎬ则ｂａ的值为( )Ａ.２Ｂ.１２Ｃ.－２Ｄ.－１２解析 由题意得ａ＋１＋(２ａ＋ｂ)２＝０.又因为ａ＋１≥０ꎬ(２ａ＋ｂ)２≥０ꎬ{所以ａ＋１＝０ꎬ２ａ＋ｂ＝０ꎬ{得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以ｂａ＝２－１＝１２.故选Ｂ.答案 Ｂ 变式训练 (２０１５四川绵阳ꎬ３ꎬ３分)若ａ＋ｂ＋５＋｜２ａ－ｂ＋１｜＝０ꎬ则(ｂ－ａ)２０１５＝( )Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.５２０１５Ｄ.－５２０１５答案 Ａ解析 由题意得ａ＋ｂ＋５＝０ꎬ２ａ－ｂ＋１＝０ꎬ{解得ａ＝－２ꎬｂ＝－３.{所以(ｂ－ａ)２０１５＝－１.故选Ａ.方法三 用科学记数法表示数的方法 用科学记数法表示数是把一个数表示成ａ×１０ｎ的形式ꎬ其中１≤｜ａ｜１０ꎬｎ为整数.例３ (２０１７天津ꎬ４ꎬ３分)据«天津日报»报道ꎬ天津市社会保障制度更加成熟完善ꎬ截至２０１７年４月末ꎬ累计发放社会保障卡１２６３００００张.将１２６３００００用科学记数法表示为( )Ａ.０.１２６３×１０８Ｂ.１.２６３×１０７Ｃ.１２.６３×１０６Ｄ.１２６.３×１０５解析 １２６３００００用科学记数法可表示为１.２６３×１０７ꎬ故选Ｂ.答案 Ｂ 变式训练 (２０１６吉林ꎬ２ꎬ２分)习近平总书记提出了未来５年“精准扶贫”的战略构想ꎬ意味着每年要减贫约１１７０００００人ꎬ将数据１１７０００００用科学记数法表示为( )Ａ.１.１７×１０６Ｂ.１.１７×１０７Ｃ.１.１７×１０８Ｄ.１１.７×１０６答案 Ｂ解析 将１１７０００００表示为ａ×１０ｎ(１≤｜ａ｜１０)的形式ꎬｎ比１１７０００００的整数位数少１ꎬ所以ｎ＝７ꎬａ＝１.１７ꎬ所以１１７０００００用科学记数法可以表示为１.１７×１０７ꎬ故选Ｂ.方法四 实数混合运算的方法 实数的混合运算一般先算乘方或开方ꎬ再算乘除ꎬ最后算加减ꎬ如果有括号ꎬ先算括号里面的.例４ (２０１６泉州ꎬ１８ꎬ９分)计算:(π－３)０＋｜－２｜－２０÷５＋(－１)－１.解析 原式＝１＋２－２－１＝０. 变式训练 (２０１６广西南宁ꎬ１９ꎬ６分)计算:｜－２｜＋４ｃｏｓ３０°－１２()－１＋１２.解析 原式＝２＋４×３２－２＋２３(４分)＝２＋２３－２＋２３(５分)＝４３.(６分)