关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

1关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想唐跃志1华中科技大学经济学院，武汉，430074摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth盒”的契约曲线及无差异函数。关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型引言1951年，阿罗(Arrow,K.J)发表并证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法和5个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utilityfunction)是不存在的。这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难2。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功3。我们总结了前人的经验。并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：第一，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。第二，是因为“投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在4。1研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：[phone]；E-mail：[e-mail]；联系地址：武汉市华中科技大学经济学院；邮政编码：430074。2甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调控。再如在政治上搞“两党制”。…3Debreu等人证明了：定义在商品空间Rl的非负卦限Rl+上的偏好关系≳，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，则存在表达这个偏好关系的效用函数u:Rl→Rl+。Debreu本人也因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致“投票悖论”；所以，我们认为：Debreu等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow不可能定理”。4由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从“弱化”Arrow“完全理性”假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。“投票悖论”公理化方法“传递性公理”“A优于B,B优于C,那么A必定优于C”效用函数不存在!图0－1“Arrow不可能定理”的内在逻辑关系2由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A优于B,B优于C,那么一定A优于C”。因此，“传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“AB,BC,那么一定AC”等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的呢？或者说，选择的公理是否就是要求，“如果A优于B,B优于C，就一定必须有A优于C!”？如果换成非欧几何，“阿罗定理”在非欧条件“AB,BC,不一定AC”下还会成立吗？！基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契约曲线及无差异函数。§1，公理化方法与几何公理1.1，公理化方法所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有Peano数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡尔(R.Descartes)的思想，都可化为数的公理和形的公理5。联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。5R.Descartes的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。3阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。1.2，几何公理的构成6按希尔伯特(D.Hilbert)的划分，几何公理的组成如下：几何公理结构几何公理欧氏几何罗氏几何黎氏几何公理Ⅰ关联公理关联公理关联公理公理Ⅱ顺序公理顺序公理分隔公理公理Ⅲ合同公理合同公理运动合同公理公理Ⅳ欧氏Ⅳ公设罗氏Ⅳ公设黎氏Ⅳ公设公理Ⅴ连续公理连续公理连续公理欧氏几何和罗氏几何的区别，是第Ⅳ公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第Ⅳ公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。关于第Ⅳ公设，是众所周知的：欧氏第Ⅳ公设：又称平行公理。过直线L外一点A，至多可作一条直线与L不相交。它的等价描述是，△内角和等于π。罗氏第Ⅳ公设：过直线L外一点A，至少有两条直线与L共面而不相交。它是欧氏平行公理的矛盾命题。它的等价描述是，△内角和小于π。黎氏第Ⅳ公设：过直线L外一点A的所有直线，都与L相交。它的等价描述是，△内角和大于π。对于其它公理，了解它们是必要的。关联公理7：也叫结合(从属)公理。过A,B两点，有且至多有一直线L；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点A,B,C，必有且至多有一平面S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面S上，则该直线的每一点都在S上。顺序公理：也称次序公理。若C在A,B之间，则A,B,C三点共线，且C在B,A之间；对于A,B两点，至少存在点C，使C在A,B之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。6本节的五组公理，其内容与D.Hibert原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。7公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。SSBD图1－1顺序公理与分隔公理黎氏分隔公理ACBACBCAACB欧氏/罗氏顺序公理4分隔公理8：若A,B,C为直线上任意三点，存在D，A,B点分隔C,D；若A,B分隔C,D，则B,A分隔C,D，C,D分隔A,B；共线四点A,B,C,D，则A,B分隔C,D，A,C分隔B,D，A,D分隔B,C，三种关系恰有一种关系成立；若A,B分隔C,D，A,D分隔B,E，A,B则分隔C,E。合同公理：也叫全合(全等)公理。若A,B为L上的点，A’是L’上的点，则在L’上A’的一侧，恰有点B’，使得AB=A’B’；若AB=A’B’,A”B”=A’B’，则AB=A”B”；若B在A,C之间，B’在A’,C’之间，并且有AB=A’B’,BC=B’C’，则AC=A’C’。运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体K、K’，通过运动变换F，可以由K’得到K，并且保持K、K’共有的特征性质不变。由合同或者运动合同公理，可导出：①自反性：AB=BA；②对称性：若AB=A’B’，则A’B’=AB；③传递性：若AB=A’B’,A’B’=A”B”，则AB=A”B”。同样，由顺序/分隔公理，可定义出：④反对称：AB=-BA；⑤非对称：AB-BA。以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。在同一构造空间里，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系9。三种不同的公理，构造了三种不同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何10；封闭的序，则代表黎氏几何11。不同的几何，将导致不同的几何定理。比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称AB=-BA，于是如果CB,AC，则AB。而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称AB≠-BA或者反对称AB=-BA，如果是反对称AB=-BA，则CB,AC，一定有AB；如果是非对称AB≠-BA，则CB,AC，不一定是AB，而可能是BA。关于连续公理，则从略。1.3，数与形的统一考虑一个数序对(x,y)，并引入坐标系{0;1,i}；则这个数序对(x,y)，可看成复平面上的一个点Z(x,y)；这个点通过坐标关系，可构造一个数z=x·1+y·i；则有点Z与数z的对应关8“直线”上每一点都在平面S内，都具有相同的“面序”；在“直线”上诸点的“面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关系，是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。9满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强序。序有点序、线序、面序之分。10对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。11封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。图1－2运动合同过程K’→KBA0FA’0’B’5系Z(x,y).z=x·1+y·i.同时，Z的运动Z(x,y)→Z’(x+dx,y+dy)，将构成线段ZZ’，并且有dz2=(dx·1+dy·i)2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.于是，有线段ZZ’与数dz2的对应关系ZZ’.dz2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.因为，数z、dz是基元(1,i)上的一个线性表示；数dz2是基元(1,i)的二次正定型；所以当1·i=0时，有dz2=(dx·1)2+(dy·i)2，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数dz2的形式，则忠实地反映了直角ZOZ’的“勾股弦”关系；并且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三角形中都严格成立。显然，dz2为线段ZZ’长度的平方，dz=|ZZ’|；(dx·1)2为线段ZO长度的平方，(dx·1)=|ZO|；(dy·i