2015届高三数学 黄金考点汇编06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)理(含解析

-1-考点06基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点分类】热点1指数函数、对数函数1.【2014高考福建卷第4题】若函数log(0,1)ayxaa且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）2.【2014高考江苏卷第13题】已知()fx是定义在R上且周期为3的函数，当0,3x时，21()22fxxx，若函数()yfxa在区间3,4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.-2-3.【2014辽宁高考理第3题】已知132a，21211log,log33bc，则（）A．abcB．acbC．cabD．cba4.【2014山东高考理第3题】函数1)(log1)(22xxf的定义域为（）A.)21,0(B.),2(C.),2()21,0(D.),2[]21,0(【答案】C【解析】由已知得22(log)10,x即2log1x或2log-1x，解得2x或102x，故-3-选C.考点：函数的定义域，对数函数的性质.5.【2014四川高考理第9题】已知()ln(1)ln(1)fxxx，(1,1)x.现有下列命题：①()()fxfx；②22()2()1xffxx；③|()|2||fxx.其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.6.【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数xxgxxxfaalog)(),0()(的图像可能是（）-4-7.【2014重庆高考理第12题】函数22()loglog(2)fxxx的最小值为_________.8.【2014天津高考理第4题】函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）（A）()0,+¥（B）(),0-¥（C）()2,+¥（D）(),2-?-5-9.【2014高考上海理科第20题】设常数0a，函数aaxfxx22)(（1）若a=4，求函数)(xfy的反函数)(1xfy；（2）根据a的不同取值，讨论函数)(xfy的奇偶性，并说明理由.-6-【考点】反函数，函数奇偶性．【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断-7-2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．【易错点睛】1.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定义域3.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．4.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.6.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值例1：方程03241xx的解是_________.例2：设a＞0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)0的解集为________．热点2幂函数、二次函数1.【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1fxxmx，若对于任意的,1xmm都-8-有()0fx，则实数m的取值范围为.2.【2014高考江苏卷第13题】已知()fx是定义在R上且周期为3的函数，当0,3x时，21()22fxxx，若函数()yfxa在区间3,4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.3.【2014浙江高考理第15题】设函数0,0,22xxxxxxf若2aff，则实数a的取值范围是______答案：2a-9-4.【2014天津高考理第14题】已知函数()23fxxx=+，xRÎ．若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________．【答案】0,19,．-10-5.【2014高考上海理科第18题】,0,1,0,)()(2xaxxxaxxf若)0(f是)(xf的最小值，则a的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)[0,2]6.【2014高考上海理科第9题】若2132)(xxxf，则满足0)(xf的x取值范围是.【方法规律】1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查(1)α的正负：α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸．4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：-11-(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．5．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．【解题技巧】1.做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路2.二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【易错点睛】1.注意幂函数与指数函数的联系与区别2.幂函数的增减与α的关系3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.例1：二次函数f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3在区间[－32，2]上的最大值为1，求实数a的值．解：若f(－32)＝1，解得a＝－103，但此时a＜0，且x0＝1－2a2a＝－2320∈[－32，2]，故不可能；若f(2)＝1，解得a＝34，此时a＞0且x0＝1－2a2a＝－13∈[－32，2]满足；若f(1－2a2a)＝1，解得a＝－3±222，-12-此时必须有a＜0，1－2a2a∈[－32，2].检验知，a＝－3＋222满足，a＝－3＋222不满足．综上，a＝34或a＝－3＋222.【易错点】形式是二次函数的解析式中注意讨论二次项系数a的取值例2：(2011年苏州调研)如图是函数mnyx(m、n∈N*，m、n互质)的图象，则下列判断正确的是________．①m、n是奇数，且mn＜1②m是偶数，n是奇数且mn＞1③m是偶数，n是奇数且mn＜1④m是奇数，n是偶数且mn＞1解析：将分数指数式化为根式y＝nxm，由定义域为R，值域为[0，＋∞)知n为奇数，m为偶数，又由幂函数y＝xα，当α＞1时，图象在第一象限的部分下凸，当0＜α＜1时，图象在第一象限的部分上凸，故③正确．答案：③【易错点】幂函数的单调性和a有关，注意a与0和1的比较【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况．2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．-13-2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.3.课本结论总结：指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质对数与对数函数-14-1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等