第四章统计物理学基础

第四章统计物理学基础一、物质的微观模型宏观物体是由大量微观粒子（分子、原子等）组成的。而热学的研究对象---宏观物体称为热力学系统.微观粒子体系的基本特征(1)分子(或原子)非常小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子或原子都以不同的速率不停地运动。(4)分子之间存在相互作用力——分子力.4-1统计物理的基本概念分子之间的相互作用力——分子力。0rr为斥力且增加时f急剧增加r0rr为平衡态，f=00rrr为吸引力且增加时f先增再减少注意d可视为分子力程；数量级在10-10--10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。d分子力是电性力，远大于万有引力。frmr0rd宏观量——状态参量(组成系统的大量微观粒子的总体表现).描写热力学系统宏观状态的参量。如压强p、体积V、温度T等。微观量——描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是平衡态。设一容器，用隔板将其隔开当隔板右移时，分子向右边扩散平衡态:在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：•平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。•平衡态是一种热动平衡系统从一个平衡态过渡到另一个平衡态,这一变化过程称之为热力学过程,简称为过程.如果系统所经历的过程中,每一个中间状态都是平衡态,这个过程就称为准静态过程.po),,(111TVpI),,(222TVpIIV气体的平衡态可以用图上一点来表示.VP准静态过程可以用图上一连续曲线来表示.VP准静态过程状态方程RTMMpVmol理想气体气体的摩尔质量气体质量molMMmolJR/31.8普适气体常量po),,(111TVpI),,(222TVpIIV0),,(TVpf物态方程(状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例.扔硬币从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法伽尔顿板大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线统计规律和方法伽尔顿板统计规律特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。一、理想气体的微观模型和统计假设1.理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。分子所受重力忽略不计理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。4-2理想气体的压强温度和内能2.对大量气体分子的统计假设①分子处于空间各处的概率相同，即分子数密度处处相等；cbannndVdNn②分子沿各个方向运动的几率均等。即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。22z2y2xv31vvvN/vN/)vvv(v2i2n22212abczyxvvv二．理想气体的压强公式一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m)xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。xy1lO2A1Aixmvixmvi分子动量增量ixixmvp2i分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与A1面碰撞的时间间隔ix1v/l2t单位时间内i分子对A1面的碰撞次数121l/vt/Zix单位时间内i分子对A1面的冲量122l/vmvixixi分子对A1面的平均冲力122l/vmvFixixix所有分子对A1面的平均作用力NiixNiixxvlmFF1211压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132212ixNiixvNvnlllN3212ixvnmp222231vvvvzyx2231vnmvnmpx——分子的平均平动动能221vmw平衡态下wnp32TNRnRTmNNmVpAA1三、分子的平均平动动能与温度的关系RTMMpVmol玻尔兹曼常量12310381KJ.NRkAnkTpwnp32kTvmw23212温度是气体分子平均平动动能大小的量度例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：222111)1(TVpTVpKTKTVV450177273,30027273,2:2121由已知12211221233004502pVVpTVTVpkTw)(232J.)(.)TT(k气体分子的方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332kTvmw23212气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv2molM/v121.自由度确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例。四、能量按自由度均分定理xzy),,(zyxC单原子分子(视为质点）：平动自由度t=33ti总自由度xzy),,(zyxC双原子分子（可视为由两个相对位置不变的质点所构成的刚体——如哑铃状）。平动自由度t=3转动自由度r=2☆确定质心C位置的自由度☆确定两质点连线为转轴的方位的自由度5rti总自由度1222coscoscosα、β、γ中只有两个是独立的。xzy),,(zyxC三原子或三原子以上的分子（由三个或以上质点构成的相对位置不变的刚体。）实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动与双原子分子一样，有确定质心C位置的平动自由度t=3,确定转轴的方位的自由度r=2，另外还需有确定刚体绕轴转动的角位置φ，也是一转动自由度。故三原子或三原子以上的分子的转动自由度r=36rti总的自由度二、能量均分定理kTvmw23212222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有个t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能kTt2平均转动动能kTr2平均振动动能kTs2对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为kTikTrt2)(21五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2(一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2温度改变，内能改变量为TRiMMEmol2例就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在1摩尔空气中N2质量kg.%.M331101227610928摩尔数789028122111..molMMnO2质量kg.%.M332106562310928摩尔数208032656222..MMnmolAr质量kg.%.M333102890110928摩尔数0070402890333..molMMn1mol空气在标准状态下的内能RT)ninini(RTniRTniRTniE33221133221121222J31068527331800703208057890521..)...(平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出耒，尔后被实验证实。一、分子速率分布的实验测定4-3麦克斯韦分子速率分布率测定分子速率分布的实验装置ABSPPG分子源真空室狭缝圆筒子射到上面的各种速率分可沉积弯曲玻璃板,G圆筒不转，分子束的分子都射在P处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置兰媚尔实验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源二、气体分子的速率分布分布函数研究气体分子的速率分布•把速率分成若干相等区间•求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数•各区间的分子数占气体分子总数的百分比分布表分布曲线分布函数下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。)/(smvNN/90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0实验数据的图示化6.2%12.8%6.2%4.0%00vNN090140190240290340390vvOvNNvOvNNNdvdN)v(fvOvpv面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率NdNdvNdvdN速率分布函数速率分布曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积=出现在v~v+dv区间内的概率dvvfNNvv21)(分子出现在v1~v2区间内的概率1)(0dvvf曲线下的总面积恒等于1总分子数-----N单位速率区间内分子数-----dN分子出现在此单位速率区间内的概率为-----NdN归一化条件O三、麦克斯韦分布律及三种统计速率麦克斯韦速率分布律指出，在平衡态下，且无外力场时，气体分子速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分比为dvvekTmNdNkTmv22232)2(4麦克斯韦速率分布函数为22232)2(4)(vekTmvfkTmv2223224ve)kTm()v(fkTmvdvve)kTm(dv)v(fNdNkTmv2223224一个分子处于v~v+dv区间内的概率NdvdNvf)(单位速率间隔内的概率几率密度)(vf麦克斯韦速率分布函数1、最可几速率pv与分布函数f(v)的极大值相对应的速率极值条件0)(pvvdvvdfmolmolpMRT.MRTmkTv411222、平均速率v大量分子速率的统计平均值NNvvi