数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽)：第二章 平面解析几何初步 2.3.2

2.3.2圆的一般方程第二章§2.3圆的方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？知识点圆的一般方程答案对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.梳理方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F0表示以－D2，－E2为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆表示一个点－D2，－E2[思考辨析判断正误]1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()√×√题型探究例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.类型一圆的一般方程的概念解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)0，解答解得m15，即实数m的取值范围为－∞，15.圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m.反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为__________，半径为___.解析当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，答案解析由圆的一般方程知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.∴a＝2不符合题意；当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(－2，－4)5∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为___.解析圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为－k2，－1，解析答案由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴该圆的面积为9π.9π∴－k2＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；类型二求圆的一般方程解设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解答由题意，得22＋22＋2D＋2E＋F＝0，52＋32＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0，解得D＝－8，E＝－2，F＝12.即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.解答引申探究若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解答反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.解答跟踪训练2已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.类型三求轨迹方程例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上.(1)求圆C的方程；解答(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解答反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.跟踪训练3已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解答达标检测1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为A.8πB.4πC.2πD.π12345答案√∴半径r＝2，解析解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.2.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是A.x＋y－3＝0B.x－y－3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝012345答案由k＝2－04－3＝2可知，C正确.解析解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.√12345答案解析3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是即m＜12.A.m≤2B.m＜12C.m＜2D.m≤12√解析由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，123454.方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为A.－2,4,4B.－2，－4,4C.2，－4,4D.2，－4，－4解析解析由方程得圆心坐标为－a，b2，半径为r＝4a2＋b2－4c2.答案√由已知，得－a＝2，b2＝2，4a2＋b2－4c2＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.解设点B坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，解答所以4＝x0＋x2，3＝y0＋y2，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.12345规律与方法1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.2.待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D，E，F.3.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M的坐标(x，y).(2)列出点M满足条件的集合.(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简.(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.