空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程四、曲线的一般方程与参数方程互化一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.yxza二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线vbt,令bh2的参数方程为上升高度,称为螺距.AMMtxyzo三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程00),(zyxH00),(xzyR(,)00TxzyzyxCCzyxC1o例如,在xoy面上的投影曲线方程为222200xyyz2222221:(1)(1)1xyzCxyzzxyo1C又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为四、曲线的一般方程与参数方程互化内容小结•空间曲线三元方程组或参数方程•求投影曲线(如,圆柱螺线)(2)ozyxo121x2y(1)224yxz0xyxzyo2展示空间图形(3)zxyooaoa222azx222ayxozy15xy3xy15xy3xyyz2x3思考:yb对平面交线情况如何?交线情况如何?19422yx3y022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzayxza补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面例.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去面上的投影为在则交线xoyC.0,122zyx一个圆,面上的投影为所求立体在xoy.122yx,0r,20.z附：柱面坐标的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(rPr.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(rPrzxyzo球面坐标来确定．，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设rMzyxM),,(.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo),,(zyxMrzyxA,r0.20,0规定：的球坐标称为点Mr),,(为常数r为常数为常数球坐标的三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．