空间曲线曲率和挠率的介绍

微分几何的应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。1)给出类曲线得一单位向量，称为曲线（C）上P点的单位切向量。称为曲线在P点的主法向量,它垂直于单位切向量。称为曲线在P点的次法向量。把两两正交的单位向量称为曲线在P点的伏雷内（Frenet)标架。2C)(srrdsrdrrr,,γ(s)法平面Cr(s)β(s)密切平面α(s)从切平面O1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架dsrdr3)由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做:密切平面：法平面：从切平面：而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。),(trr2)对于曲线（C）的一般参数表示有rrrrrrrrrrrrrr)(,,2()0Rr(,,)0Rr()0Rr()0Rrγ(s)法平面Cr(s)β(s)密切平面α(s)从切平面O4）伏雷内（Frenet)公式由定义可得又于是有这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系数组成一反称方阵)(s)()()()()(ssksks)(s)()(ssk)(sk0)(0)(0)(0)(0sssksk2.空间曲线的曲率，挠率设空间曲线(C)为的，且以s为参数。定义（C）在P点的曲率为3Csss0lim)()(s)(ssP1Pss0ss越小就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令则的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。)(ss1）曲率例.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,Rsss0limR1可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMMrsss0lim)()(s)(ssP1PMMrrrsssssssMMMMssssMMMMsMMsssssss)()()()()(lim)()(limlim1limlim00000例：空间曲线，为直线的充要条件是曲率证明：若为直线其中都是常向量，并且，则反之,若,则于是所以该曲线是直线.)(srr0)(sbasrba和1a0)(ars0)(s0)(rsbasr2)挠率与曲率类似有ss0lim)(ss)(ss)(s)(skrr)()(,)(sksk.//)1.(,定义曲线（C）在P点的挠率为挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的旋转速度。)(s,,异向和当.,同向和当挠率恒为零的曲线是平面曲线γ(s)法平面Cr(s)β(s)密切平面α(s)从切平面O3曲率和挠率的一般参数表示式给出类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式3Crdtdsdtdsrdtdsdsrdrtrr,)(,)(22222222dtsdrdtdsrdtsdrdtdsdsrddtsdrdtdsrr,3222dtdsrrdtsdrdtdsrdtdsrrr),1(sin33rrrrkdtdsrrrr3rrrk1）曲率由0262)(),,(),,(]1)1[()1()1)1(()1()1()(rrrrrrrrrrrrr可得挠率公式为2)(),,(rrrrr3dtdsrrrrrdtdsdtsdrdtdsrr3222)(有曲率近似计算公式,1时当y则曲率计算公式为sdd23)1(2yyy)(xfy二阶可导,设曲线弧说明:若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则若曲线方程为,)(yx则23)1(2xx23)(22yxyxyx若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23)(22yxyxyxPCk14）密切园（曲率园）过曲线（C）上一点P的主法线的正侧取线段PC，使PC的长为1/k。以C为园心，以1/k为半径在密切平面上确定一个园，这个园称为曲线在P点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率相同在点P处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.)()(1)(tttrY例求圆柱螺线r={acost,asint,bt}(a0,b0均为常数)的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.解={-asint,acost,b}，={-acost,-asint,0}，={asint,-acost,0}.于是==所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.3rrrk2)(),,(rrrrrrrrr.故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为于是曲率圆为设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为1R23)1(2yy满足方程组,222)()(Ryx)),((在曲率圆上yxM)(MTDMyyx的坐标公式.机动目录上页下页返回结束TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx)1(2yyy21(注意y与y异号)Cyxo),(yxM),(DRT例.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为可知,椭圆在oyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为R23)cossin(2222tbtaba0t显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.