空间曲面与曲线

1空间曲面与空间曲线1.球面2.柱面3.锥面4.旋转曲面5.二次曲面：一、椭球面二、双曲面三、抛物面6.空间曲线21.球面.),,(0000的点的轨迹叫球面的距离等于定长到定点rzyxP,,)()()(2202020是半径则球面方程是rrzzyyxx.),,(0000是球心zyxP:一般方程即,222DCzByAxzyx为球面4)2()2()2(222222CBADCzByAx.04222CBAD当且仅当32.柱面柱面的定义：柱面的准线、柱面的方向、柱面的母线柱面的方程曲线L在平面上的射影曲线；曲线L在平面上的射影柱面。4xyz例1.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,222Ryx沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,,(1yxMlM1M),,(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,5定义1由平行于定方向且与空间一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面,定方向叫做柱面的方向,定曲线叫做柱面的准线,那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线。QMPOxyzr6xyzxyzo表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.12222byaxz轴的平面.0yx表示母线平行于C(且z轴在平面上)表示母线平行于xyzoo机动目录上页下页返回结束7xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动目录上页下页返回结束xyz1l83.锥面),(22222为正数bazbyax上的截口为在平面tz椭圆在平面x＝0或y＝0上的截口为过原点的两直线.zxyo1)()(2222tbytaxtz,可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①xyz方程9定义1通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面，这些直线都叫锥面的母线，那个定点叫做柱面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。104.旋转曲面定义1一曲线绕着定直线l旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线叫做旋转曲面的母线，定直线l叫做旋转曲面的旋转轴，简称轴。M1°P0Oxyz旋转曲面的母线上任意点M1在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过M1点且垂直于轴l11M1°P0Oxyz的平面与旋转曲面的交线，称之为纬圆，或纬线。在通过旋转轴l的平面上，以l为界的每个半平面都与旋转曲面交成一条曲线，这条曲线在旋转过程中都能彼此重合，称之为旋转曲面的经线。来求旋转曲面的方程。12建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),,(zyxM当绕z轴旋转时,0),(11zyf,),,0(111CzyM若点给定yoz面上曲线C:),,0(111zyM),,(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC13思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf14xy例1.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转122222czyax绕z轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z15一般规律：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和方根来代替方程中的另一坐标。例2将椭圆0)(1:2222zbabyax分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。16解：因为旋转轴是x轴，同名坐标是x，在方程12222byax中保留坐标x不变，用22zy代替y,得到椭圆绕长轴（即x轴）的旋转曲面的方程为1222222bzbyax叫长形旋转椭球面。椭圆绕短轴（即y轴）旋转曲面方程为1222222azbyax17这叫扁形旋转椭球面。长形旋转椭球面扁形旋转椭球面例3将双曲线01:2222xczby18绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为1222222czbybx叫做单叶旋转双曲面。绕实轴（即y轴）旋转的旋转曲面方程为1222222czcxby叫做双叶旋转双曲面。单叶旋转双曲面19双叶旋转双曲面旋转抛物面20例4将抛物线02:2xpzy绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为x2+y2=2pz叫做旋转抛物面。xyzO例5将圆0)0()(:222xabazby绕z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：旋转抛物面21旋转曲面方程为22222)(azbyx即22222222yxbabzyx或)(4)(222222222yxbabzyx叫做环面22环面235.二次曲面用一个二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。前面介绍的柱面、锥面和旋转曲面都是二次曲面。这里再介绍三种典型的二次曲面：一、椭球面；二、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）；三、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面）。给出它们的标准方程，再讨论它们的简单性质与形状。24一、椭球面定义1在直角坐标系下，由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面，或称椭圆面，这个方程称为椭球面的标准方程。其中a,b,c是任意正实数，通常a≥b≥c。由曲面的方程讨论曲面的一些简单性质。25（1）对称性当(x,y,z)满足方程时，(-x,y,z)也满足方程。这说明，若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在椭球面上，所以，坐标平面yOz是对称平面，称为主平面。同样，其它两个坐标平面都是主平面。若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(x,-y,-z)也在椭球面上，即x轴为椭球面的对称轴，称为主轴。26同样，y轴和z轴也是椭球面的主轴。若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(-x,-y,-z)也在椭球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，称为椭球面的中心。（2）范围对于椭球面上任一点(x,y,z),满足方程1222222czbyax所以27czbyaxazayax||,||,||,1,1,1222222因此，椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x=±a,y=±b,z=±c所组成。（3）与各坐标轴的交点和与各坐标平面的交线在椭球面的方程中，令y=z=0,得椭球面与x轴的交点A(a,0,0)和A′(-a,0,0);28同样，椭球面与y轴的交点B(0,b,0)和B′(0,-b,0)椭球面与z轴的交点C(0,0,c)和C′(0,0,-c).椭球面与三个坐标平面的交线分别为2222222222221(1)01(2)01(3)0xyabzxzacyyzbcx29这些椭圆(1),(2),(3)叫做椭球面的主截线（或主椭圆）。主截线30（4）为进一步了示面解曲面的形状，用一组平行于某个坐标平面的平行平面去截这个曲面，得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为截割法。用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截口为hzchbyax222222131当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或(0,0,-c);当|h|c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为222211chbcha及它的两轴的端点分别是hchbhcha,1,0,0,12222与32椭球面的参数方程20,22,sinsincoscoscosczbyaxxzyO33二、双曲面（一）单叶双曲面在直角坐标系下，由方程1222222czbyax所表示的曲面叫做单叶双曲面，这个方程是单叶双曲面的标准方程，其中a,b,c为任意正常数。（1）对称性:关于三个坐标平面、三坐标轴及坐标原点都是对称的。34（2）与坐标轴的交点、与坐标平面的交线与z轴不相交，称z轴为虚轴，与x轴与y轴分别交于点(±a,0,0)与(0,±b,0)这四个点叫做单叶双曲面的顶点。如果用三个坐标平面z=0,y=0,x=0分别截割曲面那么所得的截线顺次为)1(012222zbyax35)3(010)2(122222222xczbyyczax（1）为xOy平面上的椭圆，叫做单叶双曲面的腰椭圆；（2）与（3）分别是xOz面与yOz面上的双曲线，这两条双曲线有着共同的虚轴与虚轴长。单叶双曲面36xyzO当用一组平行平面z=h(h可以是任意实数）来截割单叶双曲面，得到椭圆hzchbyax2222221它的两半轴分别是222211chbcha与37两轴的端点分别是hchbhcha,1,0,0,12222与这两对端点分别在双曲线（2）与（3）上。单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在的平面与xOy面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（2）与（3）滑动。38如果用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截线的方程为)5(1222222hybhczax当|h|b时，截线（5）为双曲线，它的实轴平行于x轴，实半轴长,22hbba虚半轴平行于Z轴，虚半轴长为,22hbbc双曲线（5）的顶点0,,22hhbba在腰圆（1）上；图（11）39（11）（12）（13）zxyzxy40当|h|b时，截线（5）仍为双曲线，但它的实轴平行于z轴，实半轴长为22bhbc虚半轴平行于x轴，虚半轴长为22bhba它的顶点22,,0bhbch在双曲线（3）上。图（12）41当|h|=b时，（5）变成byczaxbyczax0,022222222或这是两条直线byczaxbyczax0,0或如果h=b,那么两条直线交于点(0,b,0);如果h=-b,那么两条直线交于点(0,-b,0);图（13）42如果用平行于yOz的平面来截割单叶双曲面，则它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类似。如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。方程11222222222222czbyaxczbyax与所表示的曲面也是单叶双曲面。43（二）双叶双曲面在直角坐标系下，由方程1222222czbyax所表示的曲面，叫做双叶双曲面，上面的方程是双叶双曲面的标准方程，其中a,b,c是任意的正常数。（1）对称性双叶双曲面关于三坐标平面，三坐标轴以及坐zxyo44坐标原点都对称，曲面与x轴y轴不相交，只与z轴相交于两点(0,0,±c),这两点叫做双叶双曲面的顶点。由曲面的方程，曲面上的点恒有z2≥c2.因此，曲面分成两叶：z≥c与z≤-c.双叶双曲面45坐标平面z=0与曲面不相交，而坐标平面y=0与x=0与曲面分别交两条双曲线：)7(01),6(0122222222xbyczyaxcz与如果用一组平行于xOy的两平面|z|=h(h≥c)来截割曲面，得到截线方程hzchbyaxhzchbyax1),8(1222222222222与46当h=c时