3-4 向量空间的基、维数与坐标

上一页下一页返回1第三节向量空间的基、维数与坐标一向量空间二向量空间的基、维数与坐标三基变换与坐标变换四小结上一页下一页返回2说明.,,VRV则若;,,VVV则若一、向量空间定义3.18设是非空维向量的集合，若对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称为一个向量空间．nVVV集合对于加法及乘数两种运算封闭是指V上一页下一页返回333,.R维向量的全体是一个向量空间例1333,33.R因为任意两个维向量之和仍然是维向量数乘维向量仍然是维向量，它们都属于.nnR类似地，维向量的全体，也是一个向量空间上一页下一页返回4例2判别下列集合是否为向量空间.T1220,,,,,nnVxxxxxR解.V是向量空间1的任意两个元素因为对于1VTT220,,,,0,,,nnaabb,V1T2210,,,nnababV有T210,,,.naaV上一页下一页返回5例3判别下列集合是否为向量空间.T2221,,,,,nnVxxxxxR解T2222,2,,2.naaV则.V不是向量空间2T221,,,,naaV因为若对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.上一页下一页返回6那末，向量组就称为向量空间的r,,,21V一组基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间．VrVr二、向量空间的基、维数与坐标定义3.19设是向量空间，如果个向量且满足r,,21V,,rV（1）线性无关；12,,,r12,,,r（2）中任一向量都可由线性表示.V上一页下一页返回711221,,rrrVxR（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为r,,,21VV（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.VVV上一页下一页返回8若是向量空间的一组基，12,,,rV,V12,,,rxxx则对存在唯一一组有序数使得rrxxx1122，称为向量在基下的坐标12,,,rxxx12,,,rrxxx12(,,,).记为上一页下一页返回9特别，若是向量空间的一组基，12,,,rV且为单位向量，称为V的一组规范基.12,,,rr12,,,且两两正交，则称12,,,r为V的一组正交基；若两两正交12,,,r上一页下一页返回10空间的一组规范基为nR12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)nε,ε,,ε向量在此规范基下的坐标为12(,,...,)naaa12().na,a,...,a1122....nnαaεaεaε因为上一页下一页返回11例4设123(1,1,1),(1,2,0),(1,0,3),4(2,3,7),证明123,,是的一组基3R并求关于基的坐标.4123:,,B解ATTTT1234(,,,)111212031037521011302111~1470052102111~上一页下一页返回12所以41231(1)2因此4在基123:,,B下的坐标为B4()(1,1,2).210010101001~210052102111~A由行阶梯矩阵知()3,rA且123,,线性无关,知其为的一组基,进一步将A变成行最简形：3R上一页下一页返回13,abn设为两个已知的维向量，集合例5,VxabR试判断集合V是否为向量空间.111.,Vxab是一个向量空间因为若解，bax222则有,)()(212121Vbaxx.)()(111Vbkakkx,.ab这个向量所生成的空间称为由量向量空间向上一页下一页返回14112212,,,mmmVxaaaR12n,,,maaa设有维向量，则它们的一切线性组合所成的集合一般有1212,,,,,,,mmaaaLaaa称为由向量所生成的向量空间，记为即12112212,,,|,,,mmmmLaaaxxaaaR1212,,,,,,mmaaaLaaaL向量组的极大无关组即为的基；的秩即为的维数.上一页下一页返回15三、基变换与坐标变换由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化.nnnnnnnnnnepepepeepepepeepepepe11112121212122221122,,.两组基的变换公式表示的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性设12,,,neee12,,,neee与是维向量空间n上一页下一页返回16其矩阵形式为：12,,,neee由基到基12,,,neee的过渡矩阵P前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnpppppppeeepeeep（1）P称为上一页下一页返回17设向量在上述两组基下的坐标分别为12(,,,)nxxx12(,,,),nxxx和即11221122nnnnxexexexexexe1212(,,,)nnxxeeex1212(,,,)nnxxeeex上一页下一页返回18将（1）式代入上面方程得1212(,,,)nnxxxeee1112112122221122(,,,)nnnnnnnnpppxpppxppeepxe上一页下一页返回19所以有1122nnxxxxPxx或11221nnxxxxPxx（2）上式就是在两组基下的坐标变换公式.上一页下一页返回20例6设中的两组基：T1T2T3T4(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)，，，；T1T2T3T4(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2)(2,1,1,2)(1,3,1,2).，，，4R求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式.解取中的第三组基为规范基4R1234,,,,则有上一页下一页返回2112341234(,,,)(,,,)A12341234(,,,)(,,,)B其中11112121;11100111A20211113;02111222B由112341234(,,,)(,,,)A112341234(,,,)(,,,)AB有上一页下一页返回22所以过渡矩阵.通过计算可得:1PAB1001110101110010P所以10111110000011111P上一页下一页返回23若在基（1）下的坐标为，在基（2）下的坐标为，则由坐标变换公式有1234,,,xxxx1234,,,yyyy112213344yxyxPyxyx即12342123441234yxxxyxxyxyxxxx上一页下一页返回24四、小结1.向量空间的基、维数与坐标的定义2.向量坐标的求法3.基变换与坐标变换上一页下一页返回25作业P10425.