6 板壳结构有限元

第6章板壳结构分析6.1概述1、板壳结构：平板、壳体。平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。81~511001~801bh壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然：对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。2、薄板理论基本假设（1）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线。由此，板中面内剪应变为零。（2）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应变。（3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不变形。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。基本方程（1）位移：由假设（1）、（3），有zywvzxwuyxww),((2)应变由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为yxwywxwzxvyuyuxuxyyx222222}{形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭率。yxwywxw222222}{}{}{zchi器应力}]{[}]{[}{DzDxyyx210001011][2ED内力：板单位宽度上弯矩Mx、My和Mxy分别为σx、σy、τxy应力分量在板截面上的合力矩：]][[}]{[12}]{[}{][322222xDxDhdzxDzdzzMMMMfhhhhxyyx弹性矩阵薄板弯曲问题中的弹性矩阵[Df]21000101)1(12][12][233EhDhDf内力矩表示薄板应力的公式}{12}{3MhzEIzMhZM}{12/*1}{}{36.2薄板矩形单元[shell63]结点位移单元结点位移列阵iiiyixiiixwy)()(}{TTnTmjTieT][}{1121、结点位移与结点力单元结点力TTnTmTjTieFFFFF][}{112),,,(}{nmjiMMFFyixizii2、位移模式矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原则，取：31231131029283726524321),(xyayxayaxyayxaxayaxyaxayaxaayxw1-3项刚体位移4-5项常应变非协调元单元间法线导数可能不连续将结点坐标和结点位移代入上式），可解出a1~a12，再代入该式并整理得位移函数eNw112121}{][][][nmjiNNNNN式中形函数][][yixiiiNNNN),,,()1)(1)(1(81)1)(1)(1(812)(1)(1(812222nmjiaNbNNiiiyiiiixiiiiiibybyaxaxiiii3、单元应变enmjieBBBBB}]{[}{][}{11212313yxwywxwzxvyuyuxuxyyx222222}{),,,(/][2/][/][][2][][][,2,2,,,,33nmjiabNbNaNzNNNzBiiixyiyyixxii)123()123()433(0)31)(1()1(3)1)(31(0)1(34][222233iiiiiiiiiiiiiiiiiabababababzB3、单元应力eeSBDD1121231122333133313][][][][][}{][}{4、内力矩eeffSBDDM}]{'[}]{'][[]][[}{[B]去掉z得形变矩阵[B’][S’]分块矩阵形式][]'[''''nmjiSSSSS)123()1()123()1()433()1()1)(31(2)31)(1(2)1(6)1(6)1)(31(2)31)(1(2)1(6)1(6)1(96][02022200000000000000002333'iiiiiiiiiabbabaabbbaababEhSii00,5、单元刚度矩阵基本公式dxdydzBDBkVT]][[][][221111123333121212][][][][hhTdzdabdBDBk),,,,(][33323123222113121133nmjisraaaaaaaaakrs子矩阵为))((15)3)(3(553()1(2515532351553235155323541415323002200222022022210220221302202212002202202211jijiijjjiijiiabHabaHbababaHbaababHaababaHbaabbaabHa00220023332022022313)(3(5)53()1(2))((155155323abHaaabHaababHaajijiijjjijiabDH0060式中)1(1223EhD其中D为薄板刚度6、等效结点力板单元受横向均布载荷p作用，则等效结点力为1111][][}{dpabdNpdxdyNFTTed331331331331}{ababababpabFnmjied例6-1受中心集中力的四边支承板的计算结果(边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3)单元数（1/4板）四边固定板中心挠度wD/PL2边中点弯矩M/P2×20.00614-0.11784×40.00580-0.12336×60.00571-0.1245理论解0.00560-0.12576.3薄板三角形单元1、位移模式三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数:31029283726524321yaxyayxaxayaxyaxayaxaa若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐标下得以解决。对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：mjiLLL,,一次项：immjjimjiLLLLLLLLL,,,,,222二次项：mjiimmjjiimmjjimjiLLLLLLLLLLLLLLLLLL,,,,,,,,,222222333三次项：AALLLLiimji1LiLjLm及其一阶导数在三个结点为零，对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：)()()(229228227654321jijiimimmjmjjiimmjmjiLLLLaLLLLaLLLLaLLaLLaLLaLaLaLaw采用“＋”组合不行将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得：a1=wi，a2=wj，a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得)2()4()2()(2922827654jijmimimjjjimjmiiLLLaLLLLaLLLaLaLLaLawwLw)2()2()4()(2928227654ijiimimjmjiijmmjjLLLaLLLaLLLLaLaLaLLawwLw将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于a4~a9的方程，求解后可得a4~a9：),,,,(21),,(21),,(21),,,,,(21),,,(21),,,(21987654LjjLjiLijLiijiLimLiimiLjmLjjmjLjjLjiLijLiiLimLiiLjmLjj点的值。偏导数在的对表示jLiwwLij,最后，待定常数a1~a9代入位移模式，整理后得：yixiiijLjyjxjjjiLicbywbxwcLwwcbywbxwcLww,,),,()(2121)(21)(212121)()(2222222222mjiLLLLLLNLLLLLLLLLLLLNLLLLLLLLLNjijijijiimimjijiimjiiiimimjijiii将w,Lii和w,Lji变换成θxi、θyi，从而得到相应于θxi、θyi的形函数Nxi、Nyi利用：),,(,mjixxcyybimimiiemjieNNNNw}]{[}{][1991),,()(21)(212131)(21)(212121)()(222222222222mjiLLLLcLLLLcLLcLLcNLLLLbLLLLbLLbLLbNLLLLLLLLLNjijimimimjjimimjyijijimimimjjimimjxiimimjijiii),,]([][mjiNNNNyixiiijiiiijyijiiiijxiNcNcNNbNbN利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵[B]，进一步可得到形变列阵{Χ}和相应的形变矩阵[B’]。enmjieBBBBB}]{[}{][}{11212313eSD112123133313][][}{][}{dxdydzBDBkVT]][[][][12333123][][][][BDSSSSSnmjipdxdyNFTed][}{eeffSBDDM112123112123333313}{]'[}{]'[][][}{四边将简支板的中心挠度系数单元数（1/4板）板中心挠度