第二十五讲 方阵相似于对角阵的充分必要条件

1第三讲矩阵对角化的步骤第五章相似矩阵与二次型2定理n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵.矩阵可对角化的条件3我们先假设存在可逆矩阵，使将用其列向量表示为由得，即4于是，这说明是的特征值，是的对应于特征值的特征向量。这就是的具体构造方法.因为可逆，所以线性无关.5n1+n2+···+ns=n.矩阵对角化的步骤设n阶方阵A可对角化，则把A对角化的步骤如下：Step1：求出矩阵A的所有特征值，设A有s个不同的特征值1,2,···,s，它们的重数分别为n1,n2,···,ns,有6Step2:对A的每个特征值i,求(A-iE)x=0的基础解系,设为iiniip,,p,p21(i=1,2,···,s).以这些向量为列构造矩阵),,,(21222211121121ssnssnn,p,,pp,,p,,p,pp,,ppP),,,,,,,,,,diag(212211snssnnλλλλλλΛ7上的元素(A的特征值)之间的对应关系.则P-1AP=.要注意矩阵P的列与对角矩阵主对角线8例2判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可，则将其对角化，并写出相似变换矩阵P及对角矩阵。解：9得当时，齐次线性方程组为得基础解系当时，齐次线性方程组为得基础解系10线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。相似变换矩阵相似对角阵11当时，解得基础解系所以不能化为对角矩阵.12实对称矩阵的相似对角化定理1实对称矩阵的特征值为实数.定理2设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的r重根,则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-r，从而对应于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量.定理3设A为n阶实对称矩阵，则必有可逆阵P，使得P-1AP=，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角阵.13400031013A例3将下面实对称矩阵A相似对角化310130004EA,422.4,2321得特征值解：特征多项式14得基础解系由对,04,432xEA得基础解系由对,02,21xEA1011p23100,1.01pp123010,,101101Pppp记1200040.004PAP则15小结：3.若A有n个线性无关的特征向量2.0;iAExA求的基础解系得的特征向量1.;iA求的特征值一、矩阵对角化的步骤12,,,nppp1124.(,,,)nPpppPAP写出相似变换阵，则其中是以A的n个特征值为对角元素的对角阵.二、实对称矩阵必可对角化