第七章 扩张的单方程计量经济学模型

第七章扩展的单方程计量经济学模型经典的单方程计量经济学模型理论与方法，限于常参数、线性、揭示变量之间因果关系的单方程模型，被解释变量是连续的随机变量，其抽样是随机和不受限制的，在模型估计过程中或者只利用时间序列样本，或者只利用截面数据样本，主要依靠对经济理论和行为规律的理解确定模型的结构形式。本章中，将讨论几种扩展模型，主要包括将被解释变量抽样由完全随机扩展为受到限制的选择性样本模型，将被解释变量是连续的扩展为离散的离散选择模型，将单一种类的样本扩展为同时包含截面数据和时间序列数据的平行数据样本（PanelData）等。第7章说明这些模型与方法，无论在计量经济学理论方面还是在实际应用方面，都具有重要意义。但是，这些模型都形成了各自丰富的内容体系，甚至是计量经济学的新分支学科，模型方法的数学过程较为复杂。本章只介绍其中最简单的模型，以了解这些模型理论与方法的概念与思路。§7.1选择性样本模型SelectiveSamplesModel一、经济生活中的选择性样本问题二、“截断”问题的计量经济学模型三、“归并”问题的计量经济学模型一、经济生活中的选择性样本问题1、“截断”（truncation）问题由于条件限制，样本不能随机抽取，即不能从全部个体，而只能从一部分个体中随机抽取被解释变量的样本观测值，而这部分个体的观测值都大于或者小于某个确定值。“掐头”或者“去尾”。例如消费函数模型：由于抽样原因，被解释变量样本观测值最低200元、最高10000元。例如农户贷款影响因素分析模型：如果调查了10000户，其中只有6000户在一年内发生了贷款。仅以发生了贷款的6000户的贷款额作为被解释变量观测值，显然是将其它没有发生贷款的4000户“截断”掉了。2、“归并”(censoring)问题将被解释变量的处于某一范围的样本观测值都用一个相同的值代替。经常出现在“检查”、“调查”活动中，因此也称为“检查”(censoring)问题。例如需求函数模型：用实际消费量作为需求量的观测值，如果存在供给限制，就出现“归并”问题。被解释变量观测值存在最高和最低的限制。例如考试成绩，最高100，最低0，出现“归并”问题。二、“截断”问题的计量经济学模型1、思路如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头”或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率，与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不同的。如果能够知道在这种情况下抽取一组样本观测值的联合概率函数，那么就可以通过该函数极大化求得模型的参数估计量。所谓“截断分布”，是完整分布的一部分，指“截断随机变量”的分布。2、截断分布)()()(aPfaffcfPcbabadbccb()()()()111如果ξ服从均匀分布U(a,b)，但是它只能在(c,b)内取得样本观测值，那么取得每一个样本观测值的概率α为随机变量ξ分布范围内的一个常数如果一个连续随机变量的概率密度函数，a为该随机变量分布范围内的一个常数，那么有)(ffafPae()()()()()()()()/()2111212222Paa()()()11ξ服从正态分布Φ是标准正态分布条件概率函数3、截断被解释变量数据模型的最大似然估计iiYiXiN~(,)02),(~2iiXXNYi)/)((1)/)((1)(iiXXaYYfii如果Y_i只能在大于a的范围内取得观测值，则Y_i的概率密度函数为niniiaYnL121221ln)(21)ln)2(ln(2lniiXX0gX2XXii2ii2niniiiiiiYYL11242222)(1ln)(iXaiiii()(())1似然函数为求解该1阶极值条件，即可以得到模型的参数估计量。由于这是一个复杂的非线性问题，需要采用迭代方法求解，例如牛顿法。4、为什么截断被解释变量数据模型不能采用普通最小二乘估计对于截断被解释变量数据计量经济学模型，如果仍然把它看作为经典的线性模型，采用OLS估计，会产生什么样的结果？因为Yi只能在大于a的范围内取得观测值，那么Yi的条件均值为：)/)((1)/)(()()(iiiXXXaadyaYYYaYYEiaiiiii)()(iiiaYYEiXiiiiiiiuuaYYEaYY)()(iXiXi))(1()1()()(2i2iiiXXiiiiiiiiiiddaYYEVaruiiiii()()()22211由于被解释变量数据的截断问题，使得原模型变换为包含一个非线性项模型。如果采用OLS直接估计原模型：实际上忽略了一个非线性项；忽略了随机误差项实际上的异方差性。这就造成参数估计量的偏误，而且如果不了解解释变量的分布，要估计该偏误的严重性也是很困难的。三、“归并”问题的计量经济学模型1、思路以一种简单的情况为例，讨论“归并”问题的计量经济学模型。即假设被解释变量服从正态分布，其样本观测值以0为界，凡小于0的都归并为0，大于0的则取实际值。如果y*以表示原始被解释变量，y以表示归并后的被解释变量，那么则有：yyyyy000当当***yN*~(,)2单方程线性“归并”问题的计量经济学模型为：),0(~2Ni•如果能够得到yi的概率密度函数，那么就可以方便地采用最大似然法估计模型，这就是研究这类问题的思路。•由于该模型是由Tobin于1958年最早提出的，所以也称为Tobin模型。)0,max(*iiiyyyiiX2、“归并”变量的正态分布由于原始被解释变量y*服从正态分布，有PyPy()()*001PyPyy()()**当03、归并被解释变量数据模型的最大似然估计该似然函数由两部分组成，一部分对应于没有限制的观测值，是经典回归部分；一部分对应于受到限制的观测值。这是一个非标准的似然函数，它实际上是离散分布与连续分布的混合。002221ln)(ln)2ln(21lniiyyiyLiiXX如果样本观测值不是以0为界，而是以某一个数值a为界，则有yayayyya当当***yN*~(,)2估计原理与方法相同。§7.2二元选择模型BinaryChoiceModel一、二元离散选择模型的经济背景二、二元离散选择模型三、二元Probit离散选择模型及其参数估计四、二元Logit离散选择模型及其参数估计五、二元离散选择模型的检验说明在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。但是，经济分析中经常面临许多决策问题，或称为选择问题。如，事件发生与否；对某一建议持强烈反对、反对、中立、支持、强烈支持5种态度。离散被解释变量数据计量经济学模型（ModelswithDiscreteDependentVariables）或离散选择模型(DCM,DiscreteChoiceModel)。二元选择模型(BinaryChoiceModel)和多元选择模型(MultipleChoiceModel)。本节只介绍二元选择模型。离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于80年代初期。一、二元离散选择模型的经济背景实际经济生活中的二元选择问题研究选择结果与影响因素之间的关系。影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案的属性。对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品的购买决策问题，求职者对某种职业的选择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的贷款决策。由决策者的属性决定。对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方案的属性共同决定。如，公共交通工具和私人交通工具的选择问题。选择使用公共交通工具还是私人交通工具，取决于两类因素：1、公共交通工具和私人交通工具所具有的属性，诸如速度、耗费时间、成本等；2、决策个体所具有的属性，诸如职业、年龄、收入水平、健康状况等。二、二元离散选择模型1、原始模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择主体所具有的属性。iiXiy0)(iEiX)(iyEiiiipyPyPyE)0(0)1(1)(iX)1()(iiyPyE)0(1)1(iiiiyPpyPp左右端矛盾由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题的模型。需要将原始模型变换为效用模型。这是离散选择模型的关键。iiiiXXXX1011，其概率为当，其概率为当iiiyy具有异方差性2、效用模型作为研究对象的二元选择模型11iiiU1X000iiiUX)()(0101iiiiiUU01X**iiyiX第i个个体选择1的效用第i个个体选择0的效用)()0()1(**iXiiiPyPyP注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。很显然，如果不可观测的U1U0，即对应于观测值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交通工具；相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通工具。3、最大似然估计欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项选择一种特定的概率分布。两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑（logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元选择模型—Probit模型和Logit模型。最大似然函数及其估计过程如下：FtFt()()1)()(1)(1)()0()1(***iiiiXXXXFFPPyPyPiiii1021)())(1(),,,(iiyynFFyyyPiiXXniFFL1))(1())((iiy1iyiXX标准正态分布或逻辑分布的对称性似然函数)))(1ln()1()(ln(ln1iiXXFyFyLniii0XiniiiiiiiFfyFfyL1)1()1(ln•在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模型参数估计量。1阶极值条件三、二元Probit离散选择模型及其参数估计1、标准正态分布的概率分布函数Ftxdxt()()exp()22122fxx()()exp()221222、重复观测值不可以得到情况下二元Probit离散选择模型的参数估计0XXXXXXiiiniiniiiiiiyiiiyiiqFqfqFfFfLii1110)()(1lnqyii21关于参数的非线性