第五章 控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析5-1控制系统稳定性的基本概念5-2控制系统稳定性判据二．几何稳定判据一．代数稳定判据5-3控制系统的相对稳定性稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。本章介绍几种线性定常系统的稳定性判据及其应用，以及提高系统稳定性的方法.第五章控制系统的稳定性分析5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念一、稳定性定义定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。稳定不稳定临界稳定ttt5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念线性系统的稳定性取决于系统的内部固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。0)(limtt系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念二．判别线性系统稳定性的基本准则若系统在初始状态（零输入或零状态，或两者之和）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于0（即回到平衡位置），则称该系统是稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统是不稳定的。5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念设线性定常系统的微分方程为：,mn,)()()()(011100111txbpbpbpbtxapapapaimmmmnnnn式中，,M(p)D(p)0111;0111bpbpbpbapapapammmmnnnn若记dtdp5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念)()()()()()(SDSNSXSDSMSXio的多项式；有关的是与初始条件，为系统的传递函数SSNSGSDSM)0(x)()()()((k)o则①零输入响应（无输入时系统的初始状态引起的自由响应，Xi(S)=0）若Si为系统特征方程D(S)=0的根，且各不相同时，有5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念)()()(SDSNSXo，)()(sis1SDSNAi)exp()(11tSAtxiniio式中5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念若系统所有的特征根Si的实部均为负值，即Re[Si]0，则零输入响应最终衰减到零，即，这样的系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即，这样的系统是不稳定的。0)(limtxot)(limtxotj0稳定区域不稳定区域[S平面]②零状态响应（“无输入时系统的初始状态”为0，而仅由输入引起的响应）5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念则系统稳定。若0)(limtt则系统不稳定。若)(limtt,)()(ittx5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念可见，若系统所有的特征根Si的实部均为负值，即Re[Si]0，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。如有实部为零的根，则出现临界稳定状态（振荡），如有零根存在，则出现常数项，相当于系统偏离了平衡状态，所以工程上也认为系统不稳定。)()()()()]([SDSMsGsWtL)exp(])()([)]([)(1211tSASDSMLsGLtinii5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念总结：稳定性判别的基本准则：系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根（或者系统传递函数的极点）全部位于s复平面的左半平面。如果有一个或以上的根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，而其余的根位于s平面的左半平面，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也不稳定。从工程控制角度来看，认为临界稳定也是不稳定。由于直接求解高阶方程的根过于复杂，因此有了下列求解方程的稳定判据方法。闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面系统稳定充要条件5-1线性系统控制系统稳定性的基本概念三、稳定性的一些提法1、李亚普诺夫意义下的稳定性2、渐进稳定性3、“小偏差”的稳定性j0稳定区域不稳定区域[S平面]5-2控制系统稳定性判据闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面系统稳定充要条件但在实际工程中，阶次往往比较高，当阶次高于4次，求解很困难。例：如图所示的IS机器人公司的一体化6腿微型机器人：机械腿由12种150个传感器组成，能起到与环境交互的作用，能判断出环境的表面形状、结构、硬度以及颜色。由陀螺稳定的照相系统和激光测距系统能使其迅速移动、跨越障碍以及其他复杂的动作。试判断该机器人的稳定性。系统特征方程为：Q(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+635-2控制系统稳定性判据不必求解系统的特征方程，通过对特征方程的系数进行分析来判断系统的稳定性的方法。对于特征方程：通过因式分解，总可以分解为一次因子和二次因子的乘积形式，即：(s+a)和(s2+bs+c)相乘的形式。只有a、b、c都是非零的正值时，才能得到负实根或具有负实部的共轭复根。所以ai0是判定系统稳定的必要条件，但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充要条件。0011asasannnn5-2控制系统稳定性判据1、罗斯（Routh）稳定判据：一．代数稳定判据5-2控制系统稳定性判据1)列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变。432143214321753164204321ddddccccbbbbaaaaaaaassssssnnnnnnnnnnnnn5-2控制系统稳定性判据式中：直至其余的b为零。同样的:﹍﹍13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab121311bbaabcnn131512bbaabcnn121211ccbbcd131312ccbbcd2)第一列各数的符号全为正且不为0，则说明无正实部的根，系统稳定。否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。已知一调速系统的特征方程式为0103.25175.41423SSS例试用劳斯判据判别系统的稳定性：解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。401423103.25.380103.25.4105171SSSS5-2控制系统稳定性判据已知某调速系统的特征方程式为例0)1(16705175.4123KSSS求该系统稳定的K值范围。由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1(16700)1(2.40517KK9.111K解：列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS5-2控制系统稳定性判据3）劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→０求极限来判别第一列系数的符号。实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在，有符号变化时则同上。5-2控制系统稳定性判据已知系统的特征方程式为02223SSS试判别相应系统的稳定性。例2)(022110123SSSS由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。解：列劳斯表5-2控制系统稳定性判据4）劳斯表中出现全零行5-2控制系统稳定性判据如出现一行全零时，此时存在一些对称（大小相等，符号相反）的根（包括实根和共轭复根，系统处于临界稳定状态）。则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。解辅助方程得的根即为特征方程的根。0161620128223456SSSSSS列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。2,2jj例如，一个控制系统的特征方程为：5）劳斯判据的应用1sa0右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。aS为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设，并代入原方程式中，得到以1Sass15-2控制系统稳定性判据用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验是否有根在垂线1S的右方。例解：列劳斯表42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。5-2控制系统稳定性判据列劳斯表12114120123SSSS令代入特征方程：041310223SSS11ss04)1(13)1(10)1(212131sss014212131sss第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。式中有负号，显然有根在1S的右方。5-2控制系统稳定性判据对于n阶系统：列赫尔维茨行列式：5-2控制系统稳定性判据0011asasannnn021231425310000000000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn2、赫尔维茨稳定判据该系统稳定的充要条件为：1）特征方程各项系数均大于0，即2）主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，则方程无正根，系统稳定。5-2控制系统稳定性判据011na02312nnnnaaaa0031425313nnnnnnnnaaaaaaaa0n﹍.0a,0a,,001na二．几何稳定判据罗斯-赫尔维茨判据较难判别系统稳定的程度及各参数对稳定性的影响。几何判据是根据闭环系统的开环传递函数的奈氏图或波德图来判断闭环系统的稳定性及稳定性储备(也是判别所有的根具有负实部)。5-2控制系统稳定性判据1、奈奎斯特稳定判据判别系统稳定的充要条件:即:1+G(S)H(S)=0的根全部具有负实部。将1+G(S)H(S)与开环频率特性G开(jω)、即G(jω)H(jω)联系起来，将系统特性由复数域引入频域分析，通过G开(ω)的频率特性图用图解法来判别系统的闭环稳定性。5-2控制系统稳定性判据闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面系统稳定充要条件闭环系统传递函数：开环传递函数：特征方程：n为GK(S)的分母多项式的阶数，m为GK(S)的分子多项式的阶数，而函数F(S)的零点数和极点数分别为n’和n。5-2控制系统稳定性判据1）函数F（S）与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系)()(1)()(SHSGSGSGB)()()(SHSGSGK)()(1SF,0)()(1SHSGSHSG）（令,)())(()())(()())((1SF21'21210111nnnmmmmpspspszszszskpspspsbsbsbsb）（5-2控制系统稳定性判据可见，F(S)函数的分母与GK(S)的分母