第5讲 数列

第5讲数列高考要点回扣1.数列的概念数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如(1)已知an＝nn2＋156(n∈N*)，则数列{an}的最大项的值为.(2)数列{an}的通项为an＝anbn＋1，其中a，b均为正数，则an与an＋1的大小关系为.125anan＋1(3)已知数列{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是.2.等差数列的有关概念(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2).(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.如①等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则通项an＝.②首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是.λ－32n＋1083d≤3(3)等差数列的前n项和：Sn＝n(a1＋an)2，Sn＝na1＋n(n－1)2d.如①数列{an}中，an＝an－1＋12(n≥2，n∈N*)，an＝32，前n项和Sn＝－152，则a1＝，n＝.②已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.(4)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝a＋b2.－310Tn＝12n－n2(n≤6，n∈N*)n2－12n＋72(n6，n∈N*)答案3.等差数列的性质(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋(a1－d2)n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列.(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.如等差数列{an}中，Sn＝18，an＋an－1＋an－2＝3，S3＝1，则n＝.274.等比数列的有关概念(1)等比数列的判断方法：定义法an＋1an＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或an＋1an＝anan－1(n≥2).如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为.(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.如设等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则n＝，公比q＝.56612或2(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.如等比数列中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝.由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解.(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为.44AB5.等比数列的性质(1)当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a2p.如①在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝.②各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝.(2)若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap＋nq}(p，q∈N*)、{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{anbn}成等比数列；若{an}是等比数列，且公比q≠－1，51210则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等比数列，当q＝－1且n为偶数时，数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是常数数列0，它不是等比数列.如①已知a0且a≠1，设数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200＝.②在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20的值为.100a100406.数列的通项的求法(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.如已知数列314，518，7116，9132，…试写出其一个通项公式：.(2)已知Sn(即a1＋a2＋…＋an＝f(n))求an，用作差法：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.如①已知{an}的前n项和满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝；②数列{an}满足12a1＋122a2＋…＋12nan＝2n＋5，则an＝.an＝2n＋1＋12n＋13，n＝12n，n≥214，n＝12n＋1，n≥2(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)求an，用作商法：an＝f(1)，n＝1，f(n)f(n－1)，n≥2.如数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝.(4)若an＋1－an＝f(n)求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2).如已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝1n＋1＋n(n≥2)，则an＝.(5)已知an＋1an＝f(n)求an，用累乘法：an＝anan－1·an－1an－2…a2a1·a1(n≥2).如已知数列{an}中，a1＝2，前n项和Sn，若Sn＝n2an，则an＝.6116n＋1－2＋14n(n＋1)(6)已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列).形如an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an.如①已知a1＝1，an＝3an－1＋2，则an＝；②已知a1＝1，an＝3an－1＋2n，则an＝.形如an＝an－1kan－1＋b的递推数列都可以用倒数法求通项.如③已知a1＝1，an＝an－13an－1＋1，则an＝.2·3n－1－15·3n－1－2n＋113n－27.数列求和的常用方法(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别提示：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；③常用公式：1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1),13＋23＋33＋…＋n3＝［n(n＋1)2］2.如等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝.4n－13(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)＝.(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n项和公式的推导方法).如已知f(x)＝x21＋x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(12)＋f(13)＋f(14)＝.(－1)n·n72(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).如设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成两项差的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；①a1＝1，q＝2；②Tn＝2n＋1－n－2答案②1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；③1k21k2－1＝12(1k－1－1k＋1)，1k－1k＋1＝1(k＋1)k1k21(k－1)k＝1k－1－1k；④1n(n＋1)(n＋2)＝12［1n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)］；⑤n(n＋1)！＝1n！－1(n＋1)！；⑥2(n＋1－n)＝2n＋n＋11n2n＋n－1＝2(n－n－1).如求和：11×4＋14×7＋…＋1(3n－2)×(3n＋1)＝.n3n＋1精品回扣练习1.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于.解析由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.12.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是.解析设等比数列的公比为q，∵a2＝1，∴a1＝1q，a3＝a2q＝q.∵S3＝1q＋1＋q，∴当q0时，S3≥3(q＝1时取等号)；当q0时，S3≤－1(q＝－1时取等号).(－∞，－1]∪[3，＋∞)3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为.解析根据已知条件4S2＝S1＋3S3即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)整理得：3q2－q＝0，又q≠0.∴q＝13.134.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝_______.解析∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋［ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)］＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn.2＋lnn5.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝.解析an＝a1qn－1＝a2qn－2＝…＝amqn－m，∴a10＝a3q7，即384＝3q7，∴q7＝27，q＝2.an＝a3qn－3＝3·2n－3.3·2n－36.等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则数列{an}的通项公式为.解析由a4＝a1q3，a6＝a3q3得a4＋a6a1＋a3＝q3＝54×110＝18，∴q＝12，又a1(1＋q2)＝10，∴a1＝8.∴an＝a1qn－1＝8×(12)n－1＝24－n.an＝24－n7.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{nan}中数值最小的项是第项.解析当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10(n－1)＝2n－11.可以统一为an＝2n－11，故nan＝2n2－11n，该关于n的二次函数的对称轴是n＝114，考虑到n为正整数，且对称轴离n＝3较近，故数列{nan}中的最小项是第3项.故填3.38.(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝.解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.4n－19.等差数列{an}前n项和Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c图象上.(1)求c，an；(2)若kn＝an2n，求数列{kn}前n项和Tn.解(1)∵点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c.a1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3，a3＝