大气科学专业流体力学第二章(基本方程)

1流体力学李忠贤[e-mail]南京信息工程大学大气科学学院2010~2011学年第2学期课程2第二章基本方程流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章将介绍描述流体运动的连续方程、运动方程和能量方程。3主要内容：第一节连续方程第二节作用于流体的力、应力张量第三节运动方程第四节能量方程第五节简单情况下的N-S方程的准确解第二章基本方程4第一节连续方程连续方程是流体力学的基本方程之一，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。流体运动的连续方程，反映流体运动和质量分布的关系，重点讨论几种不同表现形式的流体连续方程。51、拉格郎日(Lagrange)观点下的流体连续方程Lagrange观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不变的。拉格郎日型连续方程zxy()0dmdt0dVdt60Vdtd(1)0/0(2)0/0(3)0/0VddtVddtVddt流体体积增大流体密度减小；流体体积减小流体密度增大；流体体积不变流体密度不变。Lagrange观点下连续方程的物理意义？7对于不可压缩流体，它在流动过程中每个流点的密度始终保持不变，应有，此时流体的连续性方程为：0V0ddt8例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？2222234u=y22(1)(2)212xzuxtyvyzxyzvxtytwxzxy9利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（一）yxyzxuz()uuxx单位时间内通过左侧面流入控制体的流体质量为：uyz单位时间内通过右侧面流出控制体的流体质量为：[()]uuxyzx单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：[()]=()uuxyzuyzuxyzxx10类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内通过整个控制体的流体净流出量为：[()()()]uvwxyzxyz单位时间内，该控制体内的质量减少为：xyzt根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：()()()0uvwtxyz()0Vt或者112、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（二）Vtdtd拉格郎日型连续方程0Vdtd欧拉型连续方程0Vt12Vt(1)0/0(2)0/0(3)0/0VtVtVt（）有流体净流出流体局地密度减小；（）有流体净流入流体局地密度增大；（）流体无净流出或净流入流体局地密度不变。欧拉型连续方程的物理意义单位体积的流体质量通量13对于流体的定常运动，有0t流体的连续性方程可写为：0VVt可知，在定常运动中，通过任意控制体表面流体质量的净流入量等于零，即单位时间内流出控制体表面的质量等于流进控制体表面的质量。14对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续方程：v常数0V153、具有自由表面的流体连续方程通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中称之为自由表面。实际物理现象：当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之，当该处有水向四周散开时，将使得那里的水面降低。水空气交界面16假设流团密度为，考虑流体运动为二维的，即满足：，取流向方向为x轴。设流体自由表面高度为，即h在各处高低不同且可以随时间变化。tzyx,,,0,/0wztyxhh,,具有自由表面的流体连续方程的导出：17在流体中，选取一个以为底的长方形柱体，该柱体是一底面固定不动的空间区域，称为控制区。yx流体可以通过控制区的侧面，沿x轴方向流出、流入该柱体。xyzOyxh18经流体柱后侧流入的流体质量应为：同时，经流体柱前侧流出的质量为：考虑柱体内流体的质量为：0hmxyz流入质量=0hyzu流出质量=xzyuxzyuhh00xyzOyxhuxxuutzyx,,,19流出质量减去流入质量柱体内的净流出量＝柱体内质量的减少。xzyuxzyxthh00流出质量=xzyuxzyuhh00流入质量=hzyu0柱体内流体的质量减少为：0hxyzt－20***积分上限h为x，y，t的函数，可变上限的积分规则：对上式两项展开，左端项为：(),,,()atattbtbtatxfxtdxfxtdxfxtbttt＝0000hhhhhzxyzxyzxyttthzxyxytt（）xzyuxzyxthh0021***积分上限h为x，y，t的函数，可变上限的积分规则：(),,,()atattbtbtatxfxtdxfxtdxfxtbtttxzyuxzyxthh00右端项为：00000|hhhhhhhuyzxzuyzxuyxxxhxyzzuuuxxx22考虑到与z无关，并消掉等式两端公共项可得：xuu/,yxhhhhhxudzzxuuxhztth0000hhhuxhzxuzxuyx00yxthyxzthh0xzyuxzyxthh0023010xudzxhuthhh可以得到：考虑水为不可压缩的，根据连续方程有：hzxut00hhhhhxudzzxuuxhztth0000hhhhhxudzzxuuxhztth000024讨论时流向仅取x轴。如流向取平面上的任意方向，上式可写为：0xuhxhuth这就是用自由表面高度所表示的连续方程。进一步有：hhdzhh01均匀流体自由表面附近的流体（浅流体）010xudzxhuthhh00hhhVVhhVtt或者25具有自由表面的流体连续方程0hhVt0hVhhVth0Vt欧拉型连续方程水空气26具有自由表面的流体连续方程的物理意义？()htVhh通常流向取平面上的任意方向它是讨论水面波动及简单的大气动力学问题所经常用到的。271、作用于流体的力质量力流体的作用力表面力分析对象：流体中以界面包围的体积为的流体块第二节作用于流体的力、应力张量28质量力1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。如重力、万有引力、电磁力等。2特征：（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离而言，质量力均能显示出来。（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。29如果表示单位质量的流体的质量力：其中是作用在质量为的流体块上的质量力。不难看出，可以看做质量力的分布密度。F0limmFFmFF例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度就是重力加速度。gm30表面力1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物体的接触面上所受到的相互作用力。如流体内部的粘性力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。31表面力的特征：（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。32定义单位面积上的表面力（即：表面应力）为：其中是作用于某个流体面积上的表面力0limppp例如：流体受到的表面力为压力，就是压强。p33矢量是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。而矢量为流体的应力矢量，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。所以要确定应力矢量，必须考虑点的矢径、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢量）以及时间t。确切地说应力矢是两个矢量（、）和一个标量的函数t。质量力和表面力的比较nrpF质量力和表面力有着本质的差别。pnr342、应力张量取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。MxyzABCnnpmnxyz质量为Fm质量力为表面力？？？35MxyzABCnnpnxyz为了区分不同面元所受到的表面力，将应力矢量的下标取其受力面元的外法向方向，并且规定为外法向流体对另一部分流体施加的应力。,,,nxyzpppp36根据牛顿第二定律，nnxxyyzzdVmFmppdtppMxyzABCnnpnxyz根据作用力与反作用力原理xxppyyppzzpp37根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：nnxyxzzydVmFmppppdtnzzyyxxnpdVmFmptpdp38四面体体积取极限时：上式为作用于流体微元的应力矢量之间的相互关系。zzyyxxnnppppzzyyxxnnppppmFmdtVdnxyz与，，的关系？39MxyzABCnnxyz考虑面元与的关系：PPAMKnxcos,xnxnnin(,,)xyznnnnxn40xyzABCnnxyz考虑各面元间的关系：cos,cos,cos,xnxnynynznznninnjnnkn(,,)xyznnnn41将其在直角坐标系中展开，则有：zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxnyzxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnpzzyyxxnpnpnpnpzzyyxxnnppppxxnyynzznnnn42zzzyzy