第4讲 电磁场的位函数

第四讲电磁场的位函数电磁场与电磁波电子工程学院陈其科第四讲电磁场的位函数第四讲电磁场的位函数•什么是电磁场的位函数？•为什么要引入位函数？•怎样引入位函数？•位函数有何物理意义？•如何计算位函数？本讲拟讨论的问题第四讲电磁场的位函数问题一：什么是电磁场的位函数？电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便于求解，根据电磁场性质引入的辅助函数。电磁场位函数特性与电磁场性质相关。第四讲电磁场的位函数引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。qε介质球ε0a()?Er301()()d4πVrRErVR03()()d4πVJrRBrVR矢量积分，计算较难问题二：为什么要引入电磁场的位函数？第四讲电磁场的位函数问题三：如何引入电磁场的位函数？根据电磁场的性质引入。静态电场：有散无旋场静态磁场：无散有旋场时变电磁场：标量电位矢量磁位动态标量位动态矢量位()r()Ar(,)rt(,)Art第四讲电磁场的位函数动态标量位动态矢量位标量电位函数静态电场——无旋场静态磁场——无散场时变电磁场：一、电磁场位函数的引入0E0()Er矢量磁位函数0B()0A()BAr()0AΕt0B(,)BArtBΕt(,)(,)ArtErtt第四讲电磁场的位函数一、电磁场位函数的引入对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用库仑规范条件，即在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即位函数的规范条件在前述定义中，磁位函数的散度未规定，导致位函数解的不确定性。通过恰当地规定的散度可简化位函数满足的方程。AA0A0At第四讲电磁场的位函数电场力做的功P、Q两点间的电位差二、位函数的物理意义标量电位函数的物理意义E矢量磁位函数的物理意义？动态位的物理意义？BAAEtdddElldd()()QQPPElPQBA第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解静电位参考点——电位零点选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值为使空间各点电位具有确定值，须选定空间某一点作为参考点（电位零点）。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即电位参考点选取原则•应使电位表达式有意义。•应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电位参考点。•同一个问题只能有一个参考点。第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解电位差由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）ABEdEl()()ddABBAABElElA、B两点间的电位差电场力对单位正电荷做的功由场点与电位参考点的电位差即可描述场点电位。第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解思考a)在什么情况下可选无限远处为电位参考点？b)导体接地与导体的电位为零（选为电位参考点）是相同的吗？c)不同电位参考点的问题能否叠加？1、标量电位函数的求解第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解几种典型电荷的静电位•点电荷的电位OqEPQl204rqEerQPQPEdl''()PQPPEdl2'04QrPeqdrr011()4PQqrr选取Q点为电位参考点，遵循最简单原则，Q应在无穷远处0()4qrr点电荷在空间中产生的电位'P说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解•无限长线电荷的电位EPQ'P02lrEe0(lnln)2lPQP电位参考点Q不能位于无穷远点，否则表达式无意义。根据表达式最简单原则，选取ρ=1柱面为电位参考面，则0ln2lPPr无限长线电流在空间中产生的电位几种典型电荷的静电位第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解()rVyxzoriVrM31()()d4πVrRErVRE31()RRR1()()d4πVrrVCR•体分布电荷的电位面电荷：0(')1()4sSrrdScR线电荷：0(')1()4llrrdVcR式中：'Rrr几种典型电荷的静电位第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解1、标量电位函数的求解电位方程及电位边界条件DEE0/20/在无源区域()200电位的泊松方程电位的拉普拉斯方程•电位方程•电位边界条件1212120ttnnSEEDD12()0t1212Snn2121nn理想介质介质2介质12122E11En21022021电荷区:21ne第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解2、矢量磁位函数的求解无限大均匀电介质中的矢量磁位()()d4πVJrArVCR3()()d4πVJrRBrVRBA31()RRR式中：'Rrr面电流：(')()4sSJrArdSCR线电流：(')()4lIrArdlCR第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解2、矢量磁位函数的求解矢量磁位方程及其边界条件()BAr0BH0AJ2()AAA20()AAJ20AJ()0Ar无源区：20A•磁位方程•磁位边界条件12AAn121211()SeAAJ第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解3、动态位函数的求解动态位函数方程222AAJt222t达朗贝尔方程0At洛伦兹条件1(,)(,)rtArtdt1(,)(,)d4πVrtrtVR(,)(,)d4πVJrtArtVR/ttRv第四讲电磁场的位函数三、位函数的求解4、恒定磁场的标量磁位恒定磁场中，在无传导电流（J＝0）的空间有0HmH标量磁位或磁标位2m0在线性、各向同性的均匀媒质中，媒质均匀磁化，即有00()BBHMm0HMm0M等效磁荷体密度——磁标位的方程：2mm0m00M第四讲电磁场的位函数解：在球外：0,满足拉普拉斯方程边界条件：raU导体球电位球面对称：()r电位满足拉普拉斯方程：202112CdrCCdrr(无穷远为电位参考点)0r11,CUCaUaaUr四、典型例题【例1】半径为a的导体球电位为U(无穷远处电位为0)，求球外的电位函数。2221()0ddrrdrdr，由边界条件：raU0r20C第四讲电磁场的位函数四、典型例题【例2】求电偶极子的电位和电场。+q电偶极子zod－qrrr),,(rP解：在球坐标系中0011()()4π4πrrqqrrrrr22(/2)cosrrdrdcos2drr由于rdcos,2drr302020π4π4π4cos)(rrrrqdrrpep——电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp22(/2)cosrrdrd第四讲电磁场的位函数四、典型例题（续前）电偶极子的电场强度30(2cossin)4πrpeer等位线电场线电偶极子的场图+q电偶极子zod－qrrr),,(rP)sin11()(rerererEr第四讲电磁场的位函数四、典型例题【例3】两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0Sobaxy两块无限大平行板0S1()x2()x解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d()0,(0)dxxbx222d()0,()dxbxax111222()()xCxDxCxD方程的解为第四讲电磁场的位函数四、典型例题（续前）0101()0SbaCaD020020SSbCabD010020()(),(0)()(),()SSabxxxbabxaxbxaa≤≤≤≤0110()()()SxabExxea利用边界条件，有xb12()(),bb0210()()Sxbxxxx处，0x处，1(0)0xa2()0a处，0220()()SxbExxea故得到问题：此题能否用高斯定理求解？第四讲电磁场的位函数四、典型例题【例4】求均匀带电圆环的标量电位。圆环半径为a,电荷密度为ρl。均匀带电圆环axzyrRdlθrPOl解：如图所示，由于具有轴对称性，标量电位与无关，计算xOz平面上的标量电位与电场强度即可。01()d4πlCrlR01d4π'lClrr(sincos)rxzrerree(cossin)rxyreaaeeddla2222212[(sincos)sincos)]rrraar2212[2sincos]raar2221200d()4π[2sincos]larraar第四讲电磁场的位函数四、典型例题均匀带电圆环axzyrRdlθrPOl(续前)2221200d()4π[2sincos]larraar在z轴上，0222122212000d(0,0,)4π[]2[]llaazrara对于远区，有ra，所以2121211212[1()sincos][1sincos]aaarrrrrrr1(1sincos)arr2π001()(1sincos)d4πlaarrr002π4π4πlaqrr于是得到第四讲电磁场的位函数四、典型例题【例5】求无限长线电流I的磁矢位，设电流沿+z方向流动。解：先求长度为2L的直线电流的磁矢位。xyzL-L(,,)z'zddzIleIzR电流元到点的距离为22()RzzddzIleIz(,,)Pz则0221()d4()LzLIArezzz220ln[()]4LzLIezzzz22022()()ln4()()zzLzLIezLzL令,得无限长线电流磁矢位L01()ln2zIAreC第四讲电磁场的位函数作业3.2,3.3,3.4,3.7