第二篇 金融工程师的概念性工具

第二篇金融工程师的概念性工具第四章估值关系与应用（略）第五章收益的度量（略）第六章风险：投资组合的考虑、投资的注资期、杠杆一、概述·大多数企业的财务业绩都在一定程度上受到一种或多种金融价格变动的影响。这些价格包括利率、汇率、商品价格和股票价格等。例如，一个采用浮动利率融资方式或拥有浮动利率资产的企业会受到利率变动的影响。一个产品外销的国内企业会直接受到本国货币和相应外币之间汇率浮动的影响。从事制造业的企业会受到原材料市场价格和／或产成品价格变动的影响。一个权益共同基金会受到股票价格变动的影响。类似例子还有很多。金融价格的波动显然会带来很大的风险。这些风险被统称为价格风险。·对于一个价格不断变动的市场，一个企业并不一定与其发生直接的关系，从而受到其变动价格的影响。例如，一个零售商可能根本没有进行债务融资，也不持有对利率敏感的资产，但它仍可能暴露于很大的利率风险之中。如果零售商的销售对利率敏感，则一旦利率上升，企业便会遭受销售额的损失。这种情况对于住宅、汽车和耐用品等顾客需要筹资购买其商品的行业来说尤为典型。再举一个例子。假设某制造商在国内购买其全部原材料并在国内销售其全部产品。粗看起来，这样的企业似乎丝毫不会受到汇率波动的影响。但如果该企业在国内市场上有外国竞争者，那么汇率波动就会影响外国竞争者的商品价格，汇率波动就会通过这种效应影响到该企业的销售额。类似地，一种商品价格的上涨会影响其它商品的价格，因为当消费者试图用一种商品来代替另一种商品时，一种商品价格的上涨会使需求转向或脱离这些互相替代的商品。例如，我们来考虑一个用谷物喂养家畜的家畜生产者的情况。假设某种真菌严重破坏了小麦作物的收成，从而导致了小麦价格的上涨。家畜生产者并不会直接受到小麦价格上涨的影响。但是随着某些小麦的消费者通过以谷物代替小麦来对小麦价格上涨作出反应，对谷物的需求量就会增加，从而使谷物价格上涨。这个例子说明对价格风险的暴露既可能是直接的也可能是间接的。间接的暴露和直接的暴露一样是真实的存在事实，但往往比直接的暴露难于度量。二、波动性——价格风险的来源1、价格风险：未来价格偏离其期望值的可能性2、波动性：人们往往用标准差来表示公司、银行和其它金融机构对价格波动性增大做出的最初反应是雇用更多的经济学家来预测价格。这种对经济学专业的广泛使用导致了经济预测理论和预测建模的进步。到80年代中期，价格波动性有所减弱，但对于大多数价格，波动性始终没有回到70年代以前的水平。在此期间的大部分时间里，许多资产缺少能为市场提供相对预测的发达的远期(期货)市场。而随着时间的推移，出现了越来越多的远期市场。并且，随着市场预测变得越来越可行，开始出现一种令人沮丧，最初又令人感到惊讶的景象。市场预测开始趋于优于经济学家的个人预测。这并不是说经济学家们个人在任何时候都不能更为准确地预测市场价格，而是说他们不能始终一致地这样做，以致产生一个比市场低的预测波动性。现在有一种很先进的理论来解释这种现象。这种理论被称为有效率市场假设。这一理论认为市场可被看作是一个巨大的信息收集者和传播者。每个市场参与者都收集和掌握一些信息，但没有人掌握全部的信息。也就是说，每个市场参与者所掌握的，只是全部有关信息及其重要性所组成的集合的一个子集。通过买进和卖出，单个的市场参与者将其个人预测反映到市场当中，并将他们的个人信息输送到市场价格当中。通过这种过程，市场价格所反映出的便是全部可能获得的信息了。这样，蕴含着集体智慧的市场便产生出了优于任何单个经济预言家的预测。结果是，不管预测者的个人智慧与天赋如何，预测本身都不是对价格风险问题的恰当的解决办法。如果价格风险无法以预测消除，那么剩下的唯一办法便是管理价格风险了。这种策略是伴随着理论方面的进步、新型金融工具的开发和技术的改进等因素出现的。这些因素汇集在一起使价格风险管理成为实际可行的和在成本方面是有效的。正如人们所预料的，随着风险管理理论和技术的发展，产业界雇用的经济学家数目明显减少，而对有经验的风险管理人员的需求则剧烈增加。3、以百分比形式表示价格风险在实际工作中，使用价格的方差存在着一个严重的问题：未经加工的价格序列通常是不平稳的。也就是说，随着价格水平的变动，其均值和方差也在发生变动。更为重要的是，我们对于价格变动的方差远比对价格本身的方差要感兴趣得多。不幸的是，价格变动的序列通常也是不平稳的。最简单的修正办法是把价格变动序列重新表示成收益的序列。现在，我们将价格序列转换为有效注资期报酬率。这是通过将每个相连的观察值除以前一个观察值再减1而算得的。以r(t)表示t期的收益，则11tPtPtr价格价格（6.1）出于分析的目的，收益率系列与价格系列相比有许多优点。首先，通过将价格序列转换为百分比形式的收益率序列，我们使不同的价格序列更便于直接比较。其次，收益率序列的均值和方差比未经处理的价格序列的均值和方差更稳定，收益率系列看起来更像是平稳序列。122nutrntru＝（6.2）(6.3)用6．2式和6．3式算得的统计量表示的是样本均值和样本方差。也就是说，它们不一定是这10个观察值的样本母体的真实均值和方差。如果收益序列是平稳的，那么观察值的数目越大，根据其算出的样本均值和样本方差就越接近于统计母体的真实均值和方差的值。这说明实证结果的准确性可通过采用容量较大的样本序列而得以加强——这种情况并未被“数量型选手”们所忽视。在上一章中，我们是在假设和投资有关的现金流都是确定地已知的基础上来研究收益的。尽管有些现金流来源的情况确实如此——比如持有到到期日的固定收入证券——但并非所有的现金流来源的情况都是这样。在更多的情况下通常并非如此，各种投资，包括为在竞争性市场上出售而生产的商品，所产生的收益都是有风险的。从而，在金融业务实践中已经成为通用的，是用收益或者期望收益等术语来指与某种头寸相关连的平均百分比收益，并用风险一词表示与某种头寸相关连的百分比收益的标准差。并且，无论实际注资期是多长，人们还习惯于以1年期为标准表示收益率。这样做了，我们可以将期望收益称为平均收益率，并将其风险度量称为收益率的标准差。然而我们不久将论证，如果投资注资期长于或短于1年，这种处理便未必恰当。三、投资组合分析中的数学问题1、均值、方差、协方差在以下的讨论中，我们定义的注资期长度不再一定是1年，所以我们将避免使用收益率这一字眼表示年收益率。所有的收益均可理解为百分比收益。然而，我们仍然假设收益是单期的——我们只不过不特别指明这个单期的长度。就目前而言，我们假设不存在无风险资产。一个投资组合简单地说就是一个多种资产的集合。组合中的每项资产都有和其相联系的平均收益和收益方差。而且，对于任意一对收益，都存在与之联系的相关系数。收益间的相关系数度量的是两个收益间的线性相关程度。相关系数必须处于+1和一1的范围内。在两个极端的情况我们得到的是完全相关。当出现完全相关的情况时，我们可以根据某项资产收益的波动准确地预言出另一项资产收益的波动。当相关系数为+1时，这两个收益被称为是完全正相关，而当相关系数为一1时，它们便被称为是完全负相关。当然，所有的资产收益与其自身都是完全正相关的。当两项资产的收益的相关系数处于值+1和一1之间时，我们说这两项收益是不完全相关的。如果处于两个极端值的中间点，此时相关系数为零，我们就说这两项资产的收益不相关。为了区分投资组合中的不同资产，我们需要给均值和方差的符号加上适当的下标，也需要给相关系数加上记号。我们用ri表示第i种资产的百分比收益，用ui表示ri的均值，并用σ2表示ri的方差。我们还将用ρi,j表示资产i和j的收益间的相关系数。正如均值和方差一样，相关系数也借助于工作表、统计软件以及有预编程序的计算器来计算。要计算相关系数，我们必须先算出两项收益之间的协方差。资产i和资产j的收益之间的协方差以σi,j表示。口㈠的计算由6．4式给出，由协方差和标准差计算相关系数的方法见6．5式。1,nutrutrjjiijijijiji,,现在我们有了计算资产组合的平均百分比收益和百分比收益方差所需的全部统计工具。我们将用rP表示投资组合的收益，用UP表示组合收益的均值，以σP2表示组合收益的方差。剩下唯一要进行的决策是对要包含在投资组合里的不同资产如何赋以权重。我们以wi表示第i种资产的权重，并且我们假设在投资组合中含有n项资产。所有我们赋予的权重的总和必须为1(100％)(如果权重的和小于1，则说明我们让一些财富闲置了)。投资组合的各个收益参数(均值、方差和相关系数)的值分别由6．6，6．7和6．8式给出ninjjijijipiipiipwwuwurwr8.67.66.6,2投资组合的收益和组合收益的均值很容易理解。收益方差则复杂多了。它是一系列乘积(每个乘积都包含5项)的和。乘积的前两项是资产的权重，接在后面的两项是两个标准差，而最后一项是相关系数。我们对任意j和j的组合都计算这种乘积，这样在最后的求和过程中共有nXn个这样的乘积。6．8式可以简化，并可通过搞清这样两件事情来降低计算工作量。首先，当j和j相同的时候，乘积项jijijiww,；便简化为iwi22。这是因为根据定义，任何收益与其自身的相关系数都是1。另外，当i和j不同的时候，jijijiww,和jijijiww,是相同的，所以只要我们将其值乘以2，在等式中包含一个便可以了。采用这两种关系，我们可将6．8式改写为6．9式。ninjinijijijiiip尽管两种不同的表示投资组合方差的方法会产生相同的结果，采用6．9式有明显的优点。以这种方式分解方差，我们可以很容易地看出投资组合的风险显然由两个部分组成。标记为(1)的第一部分是仅与单个方差项相关的风险。这种风险被称为非系统风险(有时亦称为个别风险)。标记为(2)的风险的第二个组成部分是由投资组合中各项资产收益间的相关性所带来的风险。这部分风险常常被称为系统风险(有时亦称为市场风险)。区分非系统形式的和系统形式的风险的重要意义在于随着投资组合中包含资产种类的增加，这两种风险表现出非常不同的性质。假设包含在投资组合中的不同资产的权重都近似相等为wi＝1／n，则随着组合的扩大，非系统风险逐渐减小(用统计学语言描述，我们说它渐近趋于零)。四、风险厌恶与投资组合分析1、最小方差投资组合假设我们画出了一系列的投资组合，这些投资组合对于任一水平的收益而言具有最小的风险。这个投资组合的集合被称为最小方差集合。可以证明，投资组合的最小方差集合具有二次形式且图形为抛物线形。投资组合的有效集合是最小方差集合中位于最小方差投资组合(MVP—minimumvarianceportfolio)上方的子集。这被绘于图6．5中。这些投资组合标在风险／收益空间里(竖轴为平均收益，横轴为收益的标准差)。在任意给定的时间点上，实际中的投资组合的有效集合可以看作是真实世界的某种给定的状态。平均收益有效集合MVP最小方差集合收益的标准差2、无差异图假设我们采用由6．10式给出的二次等式，并且只考虑那些位于最小方差投资组合上方的投资组合，从而画出一个典型的有效集合。这个有效集合画在图6．6中。10.622.001.022pppuu平均收益收益标准差图6.6有价证券组合的有效集平均收益收益标准差图6.7投资者无差异曲线平均收益BA效用O收益标准差图6.8投资者最优的资产组合任何表现规范的效用函数都会产生一些类似图6．7中的无差异曲线。一条无差异曲线是一个能提供完全相同效用的风险／收益组合所组成的集合。所以，由于投资组合A的风险／收益组合与投资组合B的风险／收益组合位于同一条无差异曲线上，它们提供的满意程度(即效用)在数量上是相等的。请注意，尽管投资组合B比投资组合A的风险大，但由较大的风险所带来的效用损失由较高的收益弥补了。用来描述某个个人的效用函数的全部无差异曲线所组成的集合称为无差异图。