第二章 优化设计

1第二章优化设计2优化设计的基本概念与数学模型优化问题的极值条件与数值迭代法一维搜索方法（重点）无约束优化方法（重点）约束优化方法（重点）多目标优化方法与离散变量优化问题主要内容3引例：【例1】有一边长为6cm的正方形铝板，四角各截去一个小的方块，加工成一个无盖的盒子，试确定截去的四个小方块的边长，使加工的盒子具有最大的容积。§2.1优化设计的基本概念与数学模型4【例2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、工时和电力见表1。试确定两种产品每天的产量，以使每天可获得的利润最大。产品材料/kg工时/h电力/kw.h利润/元甲93460乙4105120供应量360300200表1生产条件与供给数据51.什么是优化设计优化设计（OptimalDesign）是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标寻找最优设计的一种设计方法。一、基本概念6结构参数优化2.优化设计的产生与发展优化设计技术产生于20世纪60年代。机构运动学优化优化设计软件的开发机械零部件及机械产品的优化设计7(1)美国：辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴的中心距总和比传统设计方法所取得的结果减少16.55%，从而相应减少了机床的体积和重量。(2)意大利。扎罗蒂用优化设计方法对柴油机变速箱作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。(3)中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t.m降为232t.m。3.优化设计运用实例8二、优化设计的数学模型优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面：设计变量与设计空间约束条件目标函数9在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，称为设计常量。在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为设计变量。1.设计变量与设计空间10设有n个设计变量，可用一个向量X表示。写成nTnnRXxxxxxxX,,,2121设计空间——设计向量——最优设计方案——nRX*X设计变量的个数，n称为维数一个设计向量对应着设计空间中的一个点，代表一种设计方案111）约束条件将对设计方案的要求和限制表示成设计变量的函数，并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件，简称约束。2.约束条件与可行域不等式约束等式约束按形式边界约束性能约束按性质122）可行域任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界是(约束方程)。在约束边界上的点称为边界点两个以上约束边界的交点称为角点0)(Xgi等式约束同样把设计空间分成两部分。13不等式约束与等式约束的几何意义：1x2x2x1x0)(Xg0)(Xg0)(Xg0)(Xh0)(Xh0)(Xh在一个优化设计问题的设计空间中，满足所有约束条件的点构成的子空间，称为可行域。14例2的可行域是什么？1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x0),(0),(20054),(300103),(36049),(22151214212132121221211xxxgxxxgxxxxgxxxxgxxxxg15【例3】根据下列约束条件画出可行域。0)(01)(02)(132212211xXgxxXgxxXg543210-2-1212x1x0)(3Xg0)(1Xg0)(2Xg可行域在约束边界的哪一边怎么确定？163）起作用约束设X为设计空间中的一个点：满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束171x2x)3(X0)(3Xg)1(X)2(X0)(2Xg0)(1Xg0)(4Xg起作用约束设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即}),,2,10)({)(muXguIkuk(，321}2,1{}1{,III左图中18优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，即在设计空间中能最好地满足所追求的某些特点的目标，将这些目标表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称为评价函数。常表示为：3.目标函数),,,()(21nxxxfXf19一般形式：123,,,,,nnixxxxnNxR求变量：123()(,,,,)nfxxxx极小化极大化函数：123(,,,,)0()ungxxxx约束条件：不等式约束123(,,,,)0()vnhxxxx等式约束4.优化设计的数学模型20用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：),,3,2,1(0)(),,3,2,1(0)(..)(min(max)pvXhmuXgtsRXXfvun21本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。0)(Xg22按目标函数的多少：单目标优化和多目标优化按所能求解的维数：一维优化和多维优化按约束情况：无约束优化和约束优化按求优的途径：数学迭代法、解析法、图解法三、优化设计的分类23数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求优的方法，便于采用计算机进行处理，是目前优化设计中广泛采用的方法。解析法：利用函数性态通过微分或变分求优。图解法：利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。24xyzo以二维优化为例。设目标函数为，它的图形是三维空间中的一个曲面。用一个的平面去切这个平面，得到一条曲线，称为等高线。),(yxfz四、优化问题的图解法1.等值线的概念等高线cyxfz),(25将等高线投影到xoy平面，得到的曲线称为目标函数的等值线，改变常数c为c1、c2,…，可得到由一系列等值线构成的等值线族。xyo26040302010605040302010例2中目标函数的等值线3600)(Xf2400)(Xf1200)(Xf0)(Xf1x2x2112060)(xxXf27用图解法例2。2.优化问题的图解法0)(0)(20054)(300103)(36049)(..12060)(min251421321221121xXgxXgxxXgxxXgxxXgtsxxXf1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x4080)(XfTX]2420[*，最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。28【例4】用图解法求解下列优化问题：0)(01)(02)(..44)(min13221221112221xXgxxXgxxXgtsxxxXf2912-1-20123453452x1x0)(3Xg0)(1Xg0)(2Xg1)(Xf8.3)(Xf9)(XfTX]34.158.0[*，最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。30非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点；非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；一般情况下：31【本节思考题】1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。2.什么是可行域？什么是等值线（面）？3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优解的特点。32【作业】用图解法求解：0)(01)(02)(..)1()2()(min1321222112221xXgxxXgxxXgtsxxXf1.2.33§2.2优化设计的极值条件与数值迭代法一、梯度的概念函数在点X(k)的梯度是由函数在该点的各个一阶偏导数组成的向量，即TnkkkkxXfxXfxXfXf)(,,)(,)()()(2)(1)()(341）函数在一点的梯度是一个向量。该向量的方向（梯度的方向）是从该点出发的所有方向中，函数值上升最快的方向；负梯度方向是函数值下降最快的方向；2）一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切面垂直；3）梯度是函数在一点邻域内局部形态的描述，在某点上升最快的方向，离开该点后不一定上升最快。梯度具有如下性质：35的梯度，并作图表示。，和点在点求函数TTXXxxXf]22[]2,3[)1()2()()2()1(2221【例1】解：根据定义，梯度11221(1)3221(2)222()/24()()/22242()222240()222fXxxfXfXxxxfXxxfXx36梯度的模(1)22(2)22()2222()022fXfX单位梯度向量(1)(1)(1)(2)(2)(2)22/2()1222()2/200()1212()fXSfXfXSfX371x2x0123451234(1)X(2)X(2)()fX(1)()fX在设计平面x1ox2内标出点(2，2)和点(0，2)，并将此两点分别与原点相连得到向量和。将这两个向量各自平移至点X(1)和X(2),所得新的向量就是点X(1)和X(2)的梯度。22T，2T0，381.无约束问题的极值条件二、优化问题的极值条件多元函数在点X(k)取得极小值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定。即)(Xf正定)(0)()(2)(kkXfXf多元函数在点X(k)取得极大值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。)(Xf392.约束问题的极值条件极值点为可行域的内点，此时目标函数的极小点就是约束问题的极小点；01x2x约束问题的极值有多种状态40目标函数的极小点在可行域外，约束问题的极小点是约束边界上的一点，该点是约束边界与目标函数一条等值线（面）的切点；1x02x411x02x约束问题还可能有多个极值点。42对于等式约束问题1）等式约束的极值条件pvXhtsXfv,2,1,0)(..)(min可以建立拉格朗日函数pvvvXhXfXL1)()(),(为拉格朗日向量，，，（其中Tn)2143，即可得到令0),(XL0)()(*1*XhXfpvvv这就是等式约束问题在点X*取得极值的必要条件，它的含义是：在等式约束问题的极值点上，目标函数的负梯度等于诸约束函数在该点梯度的线性组合。44对于不等式约束问题2）不等式约束的极值条件muXgtsXfu,2,1,0)(..)(min可以通过引入m个松弛变量将不等式约束变成等式约束),2,1(0muxunmuxXgtsXfunu,2,1,0)(..)(min245