搜索
第2讲算法初步、复数、推理与证明1．考题展望(1)高考中本课时内容多以选择、填空形式出现．算法内容往往结合高考中数学课程其他相关内容与具体的数学实例，将需要解决的问题的过程整理成程序框图，在运用程序框图解决问题的过程中，考查算法的算理和思想．(2)复数内容主要考查复数的概念、模的计算及代数形式的四则运算．(3)推理与证明考查的范围宽，内容多，涉及数学知识方方面面，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间．(4)数学归纳法是一种重要的推理工具，常在有一定难度的综合题中进行考查．2．高考真题(2012全国新课标)如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则()A．A＋B为a1，a2，…，aN的和B.A＋B2为a1，a2，…，aN的算术平均值C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数【解析】选C.结合题中程序框图，由当x＞A时，A＝x可知A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由当x＜B时，B＝x可知B应为a1，a2，…，aN中最小的数．【命题立意】本题主要考查程序框图的条件结构与循环结构及读图、识图的能力．考题2(1)(2012全国新课标)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解析】选C.z＝2－1＋i＝－1－i∴|z|＝2，z2＝2iz的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．【命题立意】本题考查复数的运算，意在考查学生对复数的计算能力及对共轭复数、复数实部与虚部的理解判断能力．【解析】选C.z＝2－1＋i＝－1－i∴|z|＝2，z2＝2iz的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．【命题立意】本题考查复数的运算，意在考查学生对复数的计算能力及对共轭复数、复数实部与虚部的理解判断能力．(2)(2011湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1【解析】选D.(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝－1.【命题立意】本题主要考查复数相等的条件，复数的乘法法则，属容易题．考题3(1)(2012江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199【解析】选C.记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)，f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，…，归纳得f(10)＝f(9)＋f(8)＝123.故选C.【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识．(2)(2012湖南)设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N2和后N2个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段N2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段N2i个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．①当N＝16时，x7位于P2中的第个位置；②当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第个位置．63×2n－4＋11【解析】①当N＝16时，P1＝x1x3x5x7x9…x16，此时x7在第一段内，P2＝x1x5x9x13x3x7…，此时x7在第6个位置．②在P1中，x173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时P2中x173位于四段中第一段的第44个位置上，在P3中，x173位于八段中第二段的第22个位置上，在P4中，x173位于十六段中第四段的第11个位置上，也就是P4中的第(3×2n－4＋11)个位置上．【命题立意】本题考查新定义问题，通过该题考查学生的推理能力，考查考生接受新事物并创造性地解决新问题的创新意识．2．复数(1)复数的概念①虚数单位i及特性：规定i2＝－1，i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(其中k∈N*)．②复数的代数形式：a＋bi(a，b∈R)．③分类：复数a＋bi(a，b∈R)实数：b＝0虚数纯虚数（a＝0，b≠0）非纯虚数（a≠0，b≠0）④复数相等的条件规定a＋bi＝c＋di⇔a＝cb＝d(a，b，c，d∈R)(2)复数的几何意义(3)复数的代数运算z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)加减法：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(4)复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的模，也就是向量OZ→的模，即有向线段OZ→的长度，计算公式|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2，有||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.(5)z＝a＋bi与z＝a－bi互为共轭复数．(6)复平面内两点间的距离公式：d＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离．3．推理(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(3)“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．4．数学归纳法数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按以下步骤进行：(1)(归纳基础)证明当n＝n0时命题成立；(2)(归纳依据)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，再证明当n＝k＋1时，命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从n≥n0的所有正整数n都成立．1．算法思想与程序框图例1(1)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．3【解析】此框图依次执行如下循环：第一次：T＝0，k＝1，sinπ2＞sin0成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2，2＜6，继续循环；第二次：sinπ＞sinπ2不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3，3＜6，继续循环；第三次：sin32π＞sinπ不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4，4＜6，继续循环；第四次：sin2π＞sin32π成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5，5＜6，继续循环；第五次：sin52π＞sin2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6，6＜6不成立，跳出循环，输出T的值为3.【点评】本题考查程序框图等知识，考查学生枚举的数学思想方法及运算求解的数学能力．第四次：sin2π＞sin32π成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5，5＜6，继续循环；第五次：sin52π＞sin2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6，6＜6不成立，跳出循环，输出T的值为3.【点评】本题考查程序框图等知识，考查学生枚举的数学思想方法及运算求解的数学能力．(2)甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p12)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59，若下图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总分数S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a＝1，b＝0；如果乙获胜，则输入a＝0，b＝1.①在上图中①，②两个判断框应分别填写什么条件？②求p的值；③设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.【解析】①程序框图中的第一个条件应填M＝2，第二个应填n＝6.②依题意，当甲连胜两局或乙连胜两局时，第二局比赛结束时比赛停止∴p2＋(1－p)2＝59，解得p＝23或p＝13∵p12，∴p＝23.③依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结束对下轮比赛是否停止没有影响．从而P(ξ＝2)＝59，P(ξ＝4)＝59(1－59)＝2081.P(ξ＝6)＝(1－59)(1－59)·1＝1681.随机变量ξ的分布列为ξ246P5920811681故Eξ＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.【点评】第(1)问中答案不唯一，如第一个条件框填M1，第二个条件框填n5，或者第一个、第二个条件互相调换顺序都可以．第(3)问也可以从独立重复试验的角度求得概率．此类问题多数是以算法为载体，实质是考查与之相关联的其他知识．通过此题的练习意在训练学生的抽象概括能力和推理能力，使学生能够在给定的信息材料中概括出一些结论，并运用推理论证一些命题的真假性．2．复数的概念与运算例2(1)a为正实数，i为虚数单位，|a＋ii|＝2，则a＝()A．2B.3C.2D．1B【解析】|a＋ii|＝|1－ai|＝a2＋1＝2，∴a＝±3，而a为正实数．∴a＝3.【点评】本题考查复数的模的运算，难度较小．【解析】|a＋ii|＝|1－ai|＝a2＋1＝2，∴a＝±3，而a为正实数．∴a＝3.【点评】本题考查复数的模的运算，难度较小．(2)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12A【解析】1＋ai2－i＝1＋ai2－i·2＋i2＋i＝2－a＋（2a＋1）i5，∵1＋ai2－i为纯虚数，∴2－a＝02a＋1≠0，∴a＝2.【点评】本题考查了纯虚数的概念，题目较易，考查了学生简单的运算能力．【解析】1＋ai2－i＝1＋ai2－i·2＋i2＋i＝2－a＋（2a＋1）i5，∵1＋ai2－i为纯虚数，∴2－a＝02a＋1≠0，∴a＝2.【点评】本题考查了纯虚数的概念，题目较易，考查了学生简单的运算能力．3．归纳与推理例3(1)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…由以上等式推测到一个一般的结论：对n∈N*，第n个等式为．12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1)2nn【点评】这是由特殊到一般进行归纳推理，它的正确性可由特殊情况作出检验．(2)在正三角形中，设它的内切圆半径为r，容易求得正三角形的周长C(r)＝63r，面积S(r)＝33r2，发现S′(r)＝C(r)．请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为．设正四面体内切球半径为R，则它的表面积S(R)＝24R2，体积V(R)＝8R3，V′(R)＝S(R)【解析】正四面体的高h＝4R，可求得棱长为26R.V(R)＝13×34(26R)2×4R＝83R3S(r)＝4×34(26R)2＝243R2.【点评】这是类比推理，由平面类比到空间．【解析】正四面体的高h＝4R，可求得棱长为26R.V(R)＝13×34(26R)2×4R＝83R3S(r)＝4×34(26R)2＝243R2.【点评】这是类比推理，由平面类比到空间．4．数学归纳法例4首项为正数的数列{an}满足an＋1＝14(an2＋3)，n∈N*.若对一切n∈N*都有an＋1＞an，求a1的取值范围.【解析】由a2＝a12＋34＞a1得0＜a1＜1或a1＞3.此时a3－a2＝（a