数字图像的傅里叶变换(经典)

图像的傅里叶变换FourierTransformationForImage时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。图例：受噪声干扰的多频率成分信号幅值时域分析频域分析信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。一维FT及其反变换连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):傅立叶变换F(u)的反变换:dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(一维DFT及其反变换离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:10/2)()(NxNuxjexfuF10/2)(1)(NxNuxjeuFNxf•F(u)的反变换的反变换:计算F(u)：1)在指数项中代入u=0，然后将所有x值相加，得到F(0)；2)u=1，复对所有x的相加，得到F(1)；3)对所有M个u重复此过程，得到全部完整的FT。离散傅里叶变换及其反变换总存在。用欧拉公式得sincosjej10]/2sin/2)[cos()(NxNuxjNuxxfuF每个F(u)由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；u值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域(u值)称为频率域，其中每一项都被称为FT的频率分量。与f(x)的“时间域”和“时间成份”相对应。傅里叶变换的作用傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分代表图像的低频分量二维DFT傅里叶变换一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):F(u,v)的反变换:112(//)00(,)(,)MNjuxMvyNxyFuvfxye112(//)001(,)(,)MNjuxMvyNuvfxyFuveMN二维DFT傅里叶变换(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为1010),(),(1)0,0(MxNyyxfyxfMNF即f(x,y)的均值，原点(0,0)的傅里叶变换是图像的平均灰度。F(0,0)称为频率谱的直流分量(系数)，其它F(u,v)值称为交流分量(交流系数)。二维连续傅里叶变换1）定义dxexfuFuxj2)()(dydxeyxfvuFvyuxj)(2),(),(2）逆傅里叶变换dueuFxfuxj2)()(dvduevuFyxfvyuxj)(2),(),(3）傅里叶变换特征参数),(),(),(vujIvuRvuF频谱/幅度谱/模),(),(),(22vuIvuRvuF能量谱/功率谱),(),(),(),(222vuIvuRvuFvuP相位谱),(),(arctan),(vuRvuIvu傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。xy0XY相应的空间频率分别为cos1,cos1YvXu对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。思考：噪声、线、细节、背景或平滑区域对应的空间频率特性？傅里叶变换的意义傅里叶变换好比一个玻璃棱镜棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长决定。傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。一些图像的傅里叶变换是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。为权重因子。空间频率表示了单色平面波的传播方向。(,)G(,)Gddcoscos,对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶变换表示成：(,)(,)exp[2()]gxyGjxydd二维离散傅里叶变换1）定义1010)//(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF2）逆傅里叶变换1010)//(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf1,1,01,1,0NvMu1,1,01,1,0NyMx离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。例设一函数如图（a）所示，如果将此函数在自变量25.1,00.1,75.0,5.03210xxxx并重新定义为图（b）离散函数，求其傅里叶变换。取样（a）（b）)3()2()1()0(111111111111)(41ffffjjjjuFxy1-1j-j图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项变得越来越不清楚。解决办法：对数化2526主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示)1(log)1(logminmaxKFKFRaa例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。解：源程序及运行结果如下：%对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱，%即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平%移至中心后显示；以对数方式显示。f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221),imshow(f,[]),title('单狭缝图像')F=fft2(f);%对图像进行快速傅里叶变换S=abs(F);subplot(222)imshow(S,[])%显示幅度谱title('幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）')Fc=fftshift(F);%把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央subplot(223)Fd=abs(Fc);imshow(Fd,[])ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:))%ratio=2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显示title('幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）')S2=log(1+abs(Fc));subplot(224)imshow(S2,[])title('以对数方式显示频谱')运行上面程序后，结果如下：单狭缝图像幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）以对数方式显示频谱二维离散傅里叶变换的性质线性性111122112222,,,,,,,,fxyFuvcfxycfxycFuvcFuvfxyFuv证明：1122,,DFTcfxycfxy112112200111122112200001122,,,,,,uxvyMNjMNxyuxvyuxvyMNMNjjMNMNxyxycfxycfxyecfxyecfxyecFuvcFuv%imagelinear.m%该程序验证了二维DFT的线性性质f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg');[m,n]=size(g);f(m,n)=0;f=im2double(f);g=im2double(g);subplot(221)imshow(f,[])title('f')subplot(222)imshow(g,[])title('g')F=fftshift(fft2(f));G=fftshift(fft2(g));subplot(223)imshow(log(abs(F+G)),[])FG=fftshift(fft2(f+g));title('DFT(f)+DFT(g)')subplot(224)imshow(log(abs(FG)),[])title('DFT(f+g)')fgDFT(f)+DFT(g)DFT(f+g)可分离性二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。11200,,uxvyMNjMNxyFuvfxye112200120,,vyuxMNjjNMxyuxMjMxfxyeeFxve112001,,uxvyMNjMNuvfxyFuveMN11220012011,1,vyuxMNjjNMuvuxMjMuFuveeMNFuyeM120120,,~,,~vyNjNyuxMjMxFxvfxyeyDFTFuvFxvexDFT方向的方向的1201201,,~1,,~vyNjNvuxMjMuFuyFuveyIDFTNfxyFuyexIDFTM方向的方向的其中：例题：编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离散傅里叶变换。解：%myseparable.m%该程序验证了二维DFT的可分离性质%该程序产生了冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版）%P125图4.4f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');subplot(211)imshow(f,[])title('原图')F=fftshift(fft2(f));subplot(223)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft2实现二维离散傅里叶变换')[m,n]=size(f);F=fft(f);%沿x方向求离散傅里叶变换G=fft(F')';%沿y方向求离散傅里叶变换F=fftshift(G);subplot(224)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft实现二维离散傅里叶变换')原图用fft2实现二维离散傅里叶变换用fft实现二维离散傅里叶变换平移性0000200200,,,,,,uxvyjMNuxvyjMNfxyeFuuvvfxyFuvfxxyyFuve证明：（1）频域移位002,uxvyjMNDFTfxye00001122001120000,,,uxvyuxvyMNjjMNMNxyuuxvvyMNjMNxyfxyeefxyeFuuvv结论：00200,,uxvyjMNfxyeFuuvv,1,22xyMNfxyFuv即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0）移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅里叶变换即可实现。例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱坐标原点移至屏幕正中央的目标。2,200NvMu当yxyxjNyvMxujee)1()()//(200解：完成本题的源程序为：%在傅里叶变换之前，把函数乘以(-1)x+y，相当于把频谱%坐标原点移至屏幕窗口正中央。f(512,512)=0;f=mat2gray(f);[Y,X]=meshgrid(1:512,1:512);f(246:266,230:276)=1;g=