第1章 有限元基本理论

工程分析应用软件(ANSYS)四川大学水利水电学院费文平主要内容第1章有限元基本理论第2章ANSYS功能简介第3章ANSYS基本过程第4章ANSYS入门与准备第5章模型输入及修复第6章坐标系第7章选择、组件与部件第8章实体建模技术第9章布尔操作第10章单元属性第11章网格划分第12章加载求解技术第13章后处理技术第14章结构非线性分析第15章模态分析第16章耦合和约束方程第17章APDL基础第18章子模型第19章热分析第20章热-应力耦合分析第一章有限元基本理论平衡方程几何方程物理方程边界条件物理系统有限元离散单元的位移场(假定单元内位移函数)单元节点关系求解区域的位移场、应力场简单化1.1有限元分析(FEA)有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。1.2有限单元法的基本思想将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。1.3物理系统举例几何体载荷物理系统结构热电磁000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx1.3.1平衡方程1.3.2几何方程xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx1.3.3物理方程(本构方程)zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGeGGeGGe222211E12EGzyxe拉梅系数体积应变剪切模量1.3.4边界条件ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxxwwvvuu应力边界条件位移边界条件1.4有限元模型真实系统有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。1.5自由度(DOFs)自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位问题自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ1.6节点和单元节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷1.6节点和单元(续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodes1.6节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元UX,UY,UZ1.7单元形函数•FEA仅仅求解节点处的DOF值。•单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。•因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。•单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。•单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似(不理想结果).21.7单元形函数(续)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..41.7单元形函数(续)DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如：结构应力、热梯度）。nodalsolutionelementsolutionUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZσ、ε、E1.7单元形函数(续)如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。1.8直杆受自重作用的拉伸问题][}{][][}]{[)(11111iiexxxxxxxxeiluuiuuNNuxxuuiiiiiiiii1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布，即：1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：iiiiiiluuEixixluudxduixE)(112)()()(1111iiiiiiiillqluuEAluuEA1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)外载荷与结点的平衡方程为第i个结点上承受的外载荷2)(1iillqTqaaEAaEAaEAuuupkuuqauuuqauu][}{][]][[)()2()2(432243432321.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：110121012][]2/[}{aEATkqaqaqap1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)EAqaqEAqaEAqauuu222242832521.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)联立求解线性代数方程组得：1.9有限单元法解题的一般步骤结构的离散化选择位移模式建立平衡方程求解节点位移计算单元中的应力和应变1.9.1结构的离散化用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系，相邻的单元体仅在节点处相连接。所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。1.9.2选择位移模式在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式(形函数)，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。即对单元假设一个位移差值函数(位移模式)，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式eNu}]{[}{1.9.2选择位移模式(续)有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式eeBDB}]{][[}{}]{[}{1.9.3三角形单元的形函数基本假定：假定单元内的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下是合理可行的。yxu321yxv6541.9.3三角形单元的形函数(续)将三角形单元的3个顶点的x方向位移代入位移函数可求出3个待定系数。1.9.3三角形单元的形函数(续)其中：而：是三角形ijm的面积。1.9.3三角形单元的形函数(续)于是可以得到：令：则：1.9.3三角形单元的形函数(续)将三角形单元的3个顶点的2个方向位移代入位移函数可求出6个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：emmjjiimjimjiNvuvuvuNNNNNNvuf0000001.9.4单元中的应变和应力有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。1.9.4单元中的应变和应力(续)得到：或简写为：1.9.4单元中的应变和应力(续)将应变代入物理方程：可得：即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。1.9.4单元中的应变和应力(续)式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：1.9.5单元的应变能平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的应变能为：1.9.5单元的应变能(续)将{ε}和[Bi]代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则，注意到弹性矩阵[D]的对称性，有：1.9.5单元的应变能(续)因为矩阵[B]及[D]的元素都是常量，所以可记：1.9.5单元的应变能(续)从而单元的应变能可写为：利用{ε}=[B]{δ}e，有：1.9.5单元的应变能(续)注意到[B]=[BiBjBm]，记子矩阵1.9.6单元上体积力的势能物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：单元上体积力具有的势能为：1.9.7单元上表面力的势能设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：则单元上表面力的势能为：1.9.8单元节点上集中力的势能如果弹性物体受到集中力{R}e的作用，通常划分单元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元3个结点上所受到的集中力为：于是该单元上集中力的势能是：1.9.9单元的总势能我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那组位移函数。由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。1.9.9单元的总势能(续)综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：1.9.9单元的总势能(续)分别引进单元体积力、表面力、集中力向量如下：1.9.9单元的总势能(续)则单元中的总势能可以表示为：1.9.10物体中的总势能把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。假设结构离散化后共有n个结点，将编号为l的结点位移记为：则结构的结点位移向量：是一个2n维的列向量。1.9.10物体中的总势能(续)可将单元刚度矩阵式用补零的办法由6×6的矩阵扩大到2n×2n的矩阵1.9.10物体中的总势能(续)如果在物体上划分的单元总数是e0，再引进结构的总刚度阵：物体总势能就可写为：代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：1.9.11建立平衡方程可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程][]][[pK1.9.12求解结点位移将边界条件代入线性代数方程组后，经计算可求得所有未知的结点位移。][]][[pK1.9.13计算单元中的应变和应力依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。eeBDB}]{][[}{}]{[}{附1空间问题的有限单元法用有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将连续的空间物体用一系列的单元离散化。空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体。附1.1位移模式空间问题中，每一个结点有3个位移分量，单元结点位移向量由12个分量组成，分别表示为：附1.