5-3 向量范数和矩阵范数的相容

矩阵论电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematics向量与矩阵的重要数字特征第五章DepartmentofMathematics在矩阵范数中,相容性尤为重要，那么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？BAABxAAx若是上的矩阵范数，是上的向量范数，由于仍是上的向量，所以：)(nnnnRCAx)(nnRCAx)(nnRC§5.3矩阵范数与向量范数的相容性定义1:设是上的矩阵范数，是上的向量范数。如果对任意的都有：则称矩阵范数与向量范数是相容的Ax)(nnnnRC)(nnRC),(nnnnRCA)(nnRCxxAAxAxDepartmentofMathematics定理1：在上的矩阵范数和F-范数分别与定义在上的向量1–范数和2–范数相容nnC1mnC11111()nnnnikkikkikikAxaa111[()()]nnnikkikka11111()()nnnikkikkmaAx证明：设，()nnijAaCnTnCx),,,(21DepartmentofMathematics2211,nnikkikAxAxAxa22111122111221112()()[()()]nnnnikkikkikiknnnikkikknnnikkikkFaaaaAx再证矩阵的F–范数与向量的2–范数相容Cauchy-Schwarz不等式所以,矩阵的F–范数与向量的2–范数相容DepartmentofMathematics定理2：上的矩阵范数与上的向量1-、2-、范数均相容nnCmnC证明：矩阵范数与向量范数的相容性设m12nnxC()nnijAaC11maxmaxnnikkikkkkiiAxaa1,,,maxmaxmaxmaxmaxmaxnikkkikkikkikkikkikkmaannaAxDepartmentofMathematics设是定义在上的一种矩阵范数，则在上必存在与它相容的向量范数nnCmnC证明：用构造法证明。取定,则就是上与相容的向量范数。首先,证明是上的范数：0nCHvmxxnCmvnC与矩阵范数相容的向量范数的存在性()HHHvvvmmmxyxyxyxy1.三角不等式,nxyCDepartmentofMathematics3,正定性0x0HvmxxHx00x0HvmxxHx0C()HHvvmmxxxx2,绝对齐性再证与的相容性mv()HHvmmvmmAxAxAxAx由矩阵范数定义中的第4条nnACnxCDepartmentofMathematics给定上的向量范数，定义nC0maxvxvAxAxvnnAC则是上与向量范数相容的矩阵范数，称为由向量范数导出的算子范数或从属于向量范数的矩阵范数nnCvvv证明：在证是矩阵范数的过程中，很容易证得其绝对齐性和正定性，下面只证满足三角不等式和相容性。从属于向量范数的矩阵范数DepartmentofMathematics,nnABC0()maxvxvABxABx000max()maxmaxvvxvvvvxxvvAxBxxxAxBxxxABvvAxAx三角不等式v的齐次性和满足三角形不等式0max()vvxvvAxAxAxx相容性DepartmentofMathematicsABAB即矩阵范数与向量范数相容，由于此条件是矩阵范数定义第4条（相容性）的必要条件v定理3:设是上的向量范数,则)(nnRC(1),AxAx1max都是由诱导出的算子范数AxAx1max(2),1vvyxxy令000maxmaxmaxmax{:1}vyyyvvvvvvvAyAyyAAyyyAxx证(1)DepartmentofMathematics定理4:(1)设，则:()nnijAaC11maxnijijAa列模和之最大者：列和范数为从属于向量1–范数的矩阵范数为从属于向量2–范数的矩阵范数为从属于向量范数的矩阵范数谱范数2max{:det()0}HMMAIAA(3)(2)1maxnijjiAa行模和之最大者：行和范数DepartmentofMathematics1101maxxAxAx2202maxxAxAx0maxxAxAx证明:令111AxAx取，得11x11maxnijijAa0maxvxvAxAxmax{:1}vvAAxx取，得222AxAx21x2max{:det()0}HAIAA取，得AxAx1x1maxnijjiAaDepartmentofMathematics范数的性质2A设，U和V是n阶酉矩阵，则nnAC1.22HAA2.范数的酉不变性2222UAAVUAVA2A3.若A是正规矩阵，是A的n个特征值，则12n2maxkkA证明：1.2max{:det()0}HMMAIAA2max{:det()0}HHMMAIAA()HHHAAAAHAA与的非零特征值相同HAA22HAADepartmentofMathematics2max{:det(())0}HUAIUAUA2max{:det()0}max{:det()0}HHHIAUUAIAAA2222HHHAVVAAA222UAVAVA2max{:det()0}HMMAIAA2.DepartmentofMathematics2max{:det()0}HAIAA22212max{}maxnkk3.当A是正规矩阵时，存在n阶酉矩阵U，使得12diag()HnUAU12()diag()HHHHnUAUUAU()()HHHHHHHHUAUUAUUAUUAUUUAA222112212diag()diag()nnnDepartmentofMathematics