应用题的本质是数学建模

应用题的本质是数学建模问：浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐彩斌答：华东师范大学数学系张奠宙教授[e-mail]引言与现状二三四五六一•“船长的年龄问题”：“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”•有多少学生把两个数直接相加减？•20年前，90％；•20年后，？•62％背景说明……10道应用题的测试结果……问题通过率1水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？94％2一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元?94％3一个工程队用同样的速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这样的速度，修第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？81％4有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？67％5工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？66％10道应用题的测试结果……问题通过率6电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台？66％7600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？65％8某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？58％9甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？50％10一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？41％应用题的教学现状•“中国数学教育在实践上肯定比美国好”数学大家陈省身。张奠宙，王善平著报告提纲1233引言与现状什么是数学应用题数学应用题的本质是什么“问题解决”与应用题教学什么关系应用题要不要讲类型应用题教学与学生生活什么关系小学数学中的模型有哪些435637三四五六七二什么是小学数学应用题文字题问题解决数学应用综合应用解决问题习题应用题应用题的渊源•应用题的出现渊远流长。•古埃及的纸草书、中国的《算数书》等古代数学典籍，都是应用题的汇编。•数学的发展有两个原动力，一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。•前者的研究成果是应用数学，后者的研究成果成为纯粹数学。数学分为纯粹数学和应用数学哥德巴赫猜想汉字排版技术陈景润作出“1+2”的领先成果王选将数学和计算机结合引发印刷革命小学数学中的纯数学问题和应用数学问题小学的纯粹数学问题：数与运算规则。交换律、分配律，通分……质数与合数；无限循环小数；平行线；……小学应用性数学问题:现实的应用：买卖中的货币计算科学的应用：路程、速度、时间的关系模拟的应用：鸡兔同笼纯数学问题与应用问题之间的联系小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则，属于纯粹数学范围，将这些规则和现实相联系，并应用于现实，则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学，体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。应用数学是永存的•如果说，应用数学是永存的，那么数学应用题教学也是永存的。只不过要“与时俱进”，不断改革而已。•“谁用的好，谁就赢了”（姜伯驹语）。•20世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，计算机技术出现之后，应用数学的一个进展，是对一个个的具体问题建立一个个的数学模型。•因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点什么是小学数学应用题？•1.算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。•2.用自然语言表达，即用文字叙述的问题。西方有时把小学应用题称作“文字题（wordproblem）”，即用自然语言表达的数学问题。文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式”，然后再用数学方法求解。什么是小学数学应用题？•3.具有比较复杂的情景。•应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。•情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。四五六七三数学应用题的本质是什么什么是数学模型？•数学建模是20世纪下半叶，随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。目前已经成为数学应用的基本模式。•数学模型，一般地说，乃是针对或参照某种事物系统的实际特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学内容本身就是一种数学模型•自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型。•加法是“合并”、“添加”等活动的数学模型•分数是平均分派物品的数学模型；•元角分的计算模型是小数的运算。•鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；模式应用：•问：你们学校每个年级几个班？•答：2个班；•问：每个班大约多少学生？•答：40人•问：你们学校一共有多少人？•答：400多人；•问：你们学校有没有两个人是同一天生日的？•答：我们班里好像没有的，我要到其他班问一问。•数学老师：有，一定有。•应用数学的数学建模，是在狭义的意义下进行的。•数学建模，专指对一个个比较复杂的具体情境，建立一个特定的专用数学模型，并用模型来解决非常具体问题。应用题对应的数学建模应用题求解与数学模型比较•应用题求解：对于一种相对比较复杂的情境，采用形式化的符号语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。•建立数学模型的步骤：了解情境分析数量关系形式化符号化的结构用数学方法求解结构中的未知数验证。实际情景实际问题数学问题（模型）数学结果检验数学结果实际结果⑴观察、加工、整理⑵分析抽象，作数学化处理⑶求解数学问题⑷结合实际（5）数学结果合乎实际数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。审题列式解答检验应用题与数学建模的步骤对照数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例背景考察：搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征审题。对问题设置的情景仔细揣摩体察。弄清问题的目标。知道速度，路程，时间的关系；适度简化：如假定为匀速行驶在直线型的道路上，等。构作模型根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。列式将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段，构成可以反映问题本质的算式。根据情景，寻找数量规律。例如找出一些不变量，借以构成数学等式。根据行程问题的不同情景进行思考。例如，相互距离为c的甲乙二者同时启动，分别以速度a、b相对而行，由于二者相遇时所用的时间x相同，据此列出等式ax+bx=c，或者算术地说明各量间的相等关系。应用题与数学建模的步骤对照模型求解：采用各种数学方法，求得满足模型的解答。求解：对算式进行变换和计算，求得结果。x=c/（a+b），或算术地求解。答案分析检验模型是否正确，解答是否符合实际。验证：验证解答是否正确，能否符合题意。将x代入原式进行验算。模型改进对模型解答进行数学上的分析，反思考察解题过程中使用的数学思想方法总结本题的思考方法，对行程问题的关节点进行反思，尤其是弄清在行驶变化过程中，哪些是变化的，那些是不变的。数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例应用题学习是数学建模的基础•每一道小学数学应用题的教育价值，在于能将情境“数学化”；•将文字的表述，转换为数学符号或图像的表示；•将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；•用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。•这些数学活动，为日后学习更复杂的“数学建模”，做好必要的准备五六七四“问题解决”与应用题教学成功需要基础问题解决回到基础新数运动2008198019701960美国式的折腾：•美国数学教育界提出的所谓“问题解决”，专指解决“非常规问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。•是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。“问题解决”的提出•我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得也很不错。•但是，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点。•在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是，总体上较窄、较难，较偏。“问题解决”的借鉴与启示•问题解决教学是应用题教学的上位概念。彼此是包含关系。•“用问题”的共性，取代了“应用题”的特性•问题解决是数学教学全局性理念；•应用题教学是数学教学的部分课题。问题解决应用题教学问题解决不能代替应用题教学•问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思是强调“探究”、“发现”、“创新”。•美国又提出“成功需要基础”，又强调其基础了。•所以，应用题教学，不能只强调“探究创新”，还要注意“打好基础”。没有基础怎么创新？问题解决不能代替应用题教学五六七四应用题要不要讲类型？•小学数学应用题可以有三种分类。•1.按数学模型分类；随机模型，统计模型；四则运算模型；分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程等等。•2.按情景熟悉程度分类。如日常生活情景模型，模拟现实情景模型，科学技术模型等等•3.按特定情境的数量关系分类。如行程问题，工程问题，流水问题，折扣问题等等，应用题的分类是否少了图形与几何的内容？•微积分课程里要讨论瞬时速度问题，切线问题，曲边梯形问题；微分方程课程里有热传导方程，电磁波方程；•中学数学也要研究抛物问题、单摆问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等；•小学数学应用按照情境内容分类，也是情理之中。按情境内容分类•不是我们要不要分类的主观决定。数学应用题分类是客观世界不同数量关系的反应。•行程问题路程=速度×时间•工程问题工作量=工作时间×工作效率•价格问题总价格=单价×数量•利息问题利息=本金×利率•利润问题利润=成本×利润率•折扣问题金额=价格×折扣率•百分数问题数量=总量×百分比这些内容不属于数学范围，但是数学课要教！应用题的分类与数量关系•科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本？•看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。•科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本？•以情境中的字词为特征来分类是表面的。要类型，但不要类型化。•按步数分：一步，两步和多步应用题；•按内容和难易来分，可分为一般应用题、复合应用题和典型应用题。•典型应用题中就有和差问题、和倍、差倍问题；追及问题、盈亏问题、相遇问题传统应用题的分类•这些分类，都是从教学需要出发的。由易到难，循序前进，总要按部就班地排除一个次序来。因此是教学需要的，有必要的。不过，这种分类不涉及数学应用题的数学本质，学生并不需要知道。•对于数学的困难生，为了辨别各种不同的算式，可能起一定的作用。•如果试图通过题型的类别训练达到“机械自动化”的程度，并不能反映数学的思想与方法，也并能真正解决数学问题。传统应用题的分类•只有被广泛承认和使用的分类才有“知识性”价值。否则只是在小范围使用，不过是一种临时使用“标签”而已，不需要长期记住。•打个比方，作为地理学知识，中国，分为省（山东），省分为市（烟台），就为止了。至于烟台下面分为各个区，就不是大众需要的知识，是地方的标签，大众不需要长期记忆。传统应用题的分类七六应用题与现实生活的关系紧密联系学生的日常生活•小学生的日常生活内容十分有限。主要围绕“