光学成像系统的传递函数

101第六章光学成像系统的传递函数由衍射理论知道，即使一个没有象差的完善的透镜或光学系统，也得不到理想的几何象，而是一个由孔径决定的衍射光斑。衍射斑的存在影响光学系统分辨物体细节的能力。对于有象差存在的实际光学系统，还因为象差的存在而影响衍射斑中光能的分布，从而降低了光学系统的质量。在常用的评价成象质量的方法中，如星点法是通过研究一个点物的衍射图形来判断象差的大小；分辨率法是用一个具有一定空间分布的鉴别率板作为物体来判断成象的好坏。这些方法都存在一定的局限性。实际的物体是有复杂的光强分布或振幅分布的，可以看作一个包含有各种空间频率的复杂光栅。按照阿贝成象理论，一个只受衍射限制而无象差的理想光学系统，因为物体的频谱中的高频部分受到孔径的限制而不能参与成象，致使象面的复振幅分布不同于物面，即表示细节的高频部分丢失而使分辨率下降。对于有象差存在的实际光学系统，不仅反映细节的高频部分由于孔径的限制而丢失，其它较低频率成分的光波也由于象差的存在而使得其振幅降低或位相改变，从而影响成象质量。为了全面评价一个光学系统的成象质量的优劣，必须全面考察物面上的各种频率成分经过光学系统的传播情况，用来衡量这个传播状况的函数就是传递函数。现在，光学传递函数的概念和理论已经较普遍地应用于光学设计结果的评价、控制光学元件的自动设计过程、光学镜头质量检验、光学系统总体设计的考虑及光学信息处理等方面。特别是光学传递函数为光学仪器的设计、制造和使用提供了统一的评价标准，成为一个更全面更客观的质量评价方法。本章主要讲授在频率域中描写衍射受限系统的成像特性。所谓衍射受限系统即成像只受到有限大小孔经衍射的影响，无几何光学像差的理想系统。对于有象差存在的实际光学系统对传递函数的影响也将作原理性的介绍。§6-1透镜、衍射受限系统的点扩展函数一、透镜的点扩展函数在§2-4中我们在学习脉冲响应和叠加积分时，引入了线性系统的点扩展函数（脉冲响应）的概念。把δ函数作为分解输入函数g1的基元函数，系统对输入的响应即输出函数g2：102ddyxhgddyxgyxg,;,,)],([),(,221111222S其中)],([),;,(1122yxyxhS称为系统的脉冲响应（点扩展）函数，其表示系统在输出平面(x2,y2)的点上对输入平面坐标(ξ，η)上的δ函数的输入响应。现在我们研究的系统是透镜。这里1g即物平面上光场分布000,yxU；2g即像平面上光场分布iiiyxU,，所以0000000,;,,,dydxyxyxhyxUyxUiiiii在§5-2里，我们知道，对于下图所示的光路，观察面上的复振幅分布为dxdydydxeyxtCyxUjkii],[,11211其中iddddaC10120，ydydyxdxdxyxdyxfddyxdddiiiiiiii)(2)(2)(1))(111())(11(1111222212121101103如果我们用单位振幅的平面波照明透明片，即0d，1010dda，则iddC121，ydydyxdxdxyxdyxfddyxdiiiiiiii)(2)(2)(1))(111())(1(11112222121211按照下图的符号标示，则iddC021，ydydyxdxdxyxdyxfddyxdiiiiiiii)(2)(2)(1))(111())(1(00002222020200用平面波照明透明片，透明片的透过率函数也就是物平面上光场分布，即),(),(00011yxUyxt考虑到透镜的孔径函数P(x，y)，并将以上各量代入下式dxdydydxeyxtCyxUjkii],[,11211得1040000000000000220020202202000000000222202020000002),;,(),(}]})(2)(2))(111[(2exp{),()2exp()2exp()(1){,(]]})(2)(2)(1))(111())(1[(2exp{),(),([)(1),(dydxyxyxhyxUdydxdxdyydydyxdxdxyxfddjkyxPdyxjkdyxjkddyxUdxdydydxydydyxdxdxyxdyxfddyxdjkyxPyxUddyxUiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii与系统的脉冲响应（点扩展）函数的定义相比知道dxdyydydyxdxdxyxfddjkyxPdyxjkdyxjkddyxyxhiiiiiiiiiii]})(2)(2))(111[(2exp{),()2exp()2exp()(1),;,(000022002020220200便是透镜的点扩展函数。当象面是物面的共轭，即fddi1110时，透镜的点扩展函数为dxdyydydyxdxdxjkyxPdyxjkdyxjkddyxyxhiiiiiiiiii]})()[(exp{),()2exp()2exp()(1),;,(000002020220200又因为象面是物面的共轭面，若透镜孔径比较大，衍射效应不明显，在近轴近似下，则iiixMxddx100iiiyMyddy100其中0ddMi是横向放大率所以)2exp()2exp(202202020Mdyxjkdyxjkii此时1050000000200020222200000020222202000}]})()[(exp{),()(1){,()22exp(}]})()[(exp{),()2exp()2exp()(1){,(),(dydxdxdyydydyxdxdxjkyxPddyxUMdyxjkdyxjkdydxdxdyydydyxdxdxjkyxPMdyxjkdyxjkddyxUyxUiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii若我们研究的是象面的光强度分布，显然)22exp(202222Mdyxjkdyxjkiiiii的存在并不影响象面的光强度分布，此时透镜的点扩展函数可以写为dxdyyMyyxMxxdjyxPdddxdyydydyxdxdxjkyxPddyxyxhiiiiiiiiiii]})()[(2exp{),()(1]})()[(exp{),()(1),;,(000200000200显然),;,(00iiyxyxh的变量),;,(00iiyxyx是两个线性组合，即)();(00MyyMxxii，所以),;,(00iiyxyxh可以记为),(00MyyMxxhii。如果令00~Mxx，00~Myy，则透镜的点扩展函数为dxdyyyyxxxdjyxPddyyxxhiiiiii]})~()~[(2exp{),()(1)~,~(000200我们知道，透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长和像距id的比例决定的。为了便于比较，我们对,xy作变量替换如下,~idxxidyy~将其代入点扩展函数表达式，得106ydxdyyyxxxjydxdPMydxdyyyxxxjydxdPddyddxddydyyxdxxdjydxdPdddxdyyyyxxxdjyxPddyyxxhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~()~(]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()(1]})~()~[(2exp{),()(1)~,~(000000002000200这就是我们最终我们所求得透镜的点扩展函数。从上式可以看出，在傍轴近似下，薄透镜为一种简单的空不变系统，其点扩展函数就是透镜的孔径函数的傅里叶变换。它决定了在像面上形成的夫琅和费衍射斑的复振幅分布，而理想像点就位于衍射斑的中心。当透镜孔径远大于id时，即x,y在很大的范围内(也就是变量,~idxxidyy~在很大范围内)1)~,~(ydxdPii，则点扩展函数可以近似为)~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~,~(00000000yyxxMydxdyyyxxxjMydxdyyyxxxjydxdPMyyxxhiiiiiiiiii上式为一种极限情况，即无限大口径的理想光学系统，这时点物成点像。二、衍射受限系统(DLSDiffraction-LimitedSystem)的点扩展函数一个衍射受限的成象系统，无论它由多少个光学元件组成，总可以用下图所示的系统来表示它的一般模型。其中，入瞳和出瞳反映了系统实际孔径对光束的限制，因此一个系统的衍射受限就相当于受到入瞳或出瞳的限制，可以证明对整个系统，入瞳和出瞳是共轭的。有了光瞳的概念，我们可以不去涉及光线在系统中行进的具体路径，而把整个系统的衍射受限看作由入瞳和出瞳边缘的作用。按照衍射受限系统的定义，系统是没有几何像差的。对于一个没有像差的复杂光学系统，其成像过程可描述为：任一物点00,yx发出的发散球面波自由传播到入瞳，由于入曈孔径为有限大，光波发生衍射，入瞳面上每一点都成为次级子波源，次级子波再传播到出瞳面，叠加成会聚球面波，最终107在像面上给出以),(00MyMx为中心的出瞳的夫琅和费衍射图样。我们将透镜的点扩展函数dxdyyMyyxMxxdjyxPddyxyxhiiiiii]})()[(2exp{),()(1),;,(000200按出瞳进行推广，就得到衍射受限系统的点扩展函数（采用系统的出瞳对光波的衍射作用）dxdyyMyyxMxxdjyxPKyxyxhiiiii]})()[(2exp{),(),;,(0000其中K是与iiyxyx,,00；无关的系数，M是系统的横向放大率，id是出射光曈面到像平面的距离（不是通常意义下的像距），yxP,是出曈函数，其表示为光曈外光曈内01,yxP如果作变量替换00~Mxx，00~Myy；idxx~，idyy~，可以得到ydxdyyyxxxjydxdPdKyyxxhiiiiiii~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~,~(002200当光曈id时，则认为在无限大的区域内都有1)~,~(ydxdPii，所以108)~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~,~(00220022002200yyxxdKydxdyyyxxxjdKydxdyyyxxxjydxdPdKyyxxhiiiiiiiiiiiii上式表明，当可以忽略光曈衍射作用时，),(00yx点的脉冲通过衍射受限系统后在物平面上得到的仍然是点脉冲，即点物成点像，位置为00~Mxxxi，00~Myyyi，这便是几何光学理想成象的情况。§6-2相干照明下衍射受限系统的成像规律相干照明下透镜成象是复振幅的线性系统，因此我们在上节导出的象面振幅0000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU