2. 1离散型随机变量及其分布列

问题1：某人射击一次，可能的结果有：命中0环；命中1环；命中2环；……命中10环。0，1，2，……10，问题2：在可能含有次品的100件中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是：含有0个次品；含有1个次品；含有2个次品；含有3个次品；含有4个次品。0，1，2，3，4，如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.一、随机变量的概念例、若设射击命中的环数为ξ，ξ＝０，表示命中０环；ξ＝2，表示命中１环；……ξ＝10，表示命中10环；ξ可取０，1，2，…，10.则ξ是一个随机变量.ξ的值可一一列举出来随机变量常用字母Ｘ，Ｙ，ξ、η等表示。二、离散型随机变量离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．例1、指出下列变量中，哪些是随机变量，如果是离散型随机变量，列出所有可能的取值.（1）投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的次数；（2）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的球的最大号码；（4）抛掷两个骰子，所得点数之和.（5）某一自动装置无故障运转的时间．（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度.一、离散型随机变量的分布列123,,,,ixxxxξx1x2…xi…pp1p2…pi…称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。则表(1,2,)ixi()iiPxpξ取每一个值的概率设离散型随机变量ξ可能取的值为1、概率分布（分布列）随机抛掷一枚骰子，用X表示正面向上点数,列出X的分布列则XP126543161616161616解：X的取值有1、2、3、4、5、6∴X的分布列为：61)6(61)5(61)4(61)3(61)2(61)1(XPXPXPXPXPXP二、离散型随机变量的分布列的性质一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。，，，321,0).1(ipi1).2(321ppp某一射手射击所得环数的分布列如下：ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率例1、随机变量X的分布列为解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有X-10123P0.16a/10a2a/50.3（1）求常数a;（2）P(X=1或X=2)（3）求P(1X4)(2)P(1X4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42解得：（舍）或20.160.31105aaa910a35a题型一、分布列性质的运用课堂练习：1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量的分布列的是（）A01P0.60.3B012P0.90250.0950.0025C012…nP…121418112nD012…nP…131233212331233nB2、设随机变量的分布列如下：P4321161316p则的值为．p313、设随机变量的分布列为则的值为．1(),3iPia1,2,3ia13274、设随机变量的分布列为P1011212q2q则（）qA、1B、C、D、212212212D对于古典概型，任何事件A的概率为：A包含的基本事件的个数基本事件的总数()PA某厂生产地10件产品中，有8件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率；（2）一件正品，一件次品的概率；（3）如果抽检的2件产品都是次品；（4）至少有一件次品的概率古典概型的求法解：1212361(3)20CCPC1213363(4)20CCPC1214363(5)10CCPC1215361(6)2CCPC∴随机变量的分布列为：P654320120310321的所有取值为：3、4、5、6．一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．例2：题型二、求离散型随机变量的分布列例3、在掷一枚图钉的随机试验中,令1,0,X针尖向上针尖向下如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是，随机变量X的分布列是：X01P1—pp1、两点分布列如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。两点分布列练习、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中得概率为0.7，求他一次发球的得分的分布列题型二、求离散型随机变量的分布列例4、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.2、超几何分布从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有的次品数记为X，则随机变量X服从超几何分布：()knkMNMkNCCPXkC0min{,}knM例5、设10件产品中，有3件次品，7件正品，先从中抽取5件，求：（1）至少有二件次品的概率；（2）求抽得次品件数X的分布列；（3）抽中次品个数超过2个，记为0分，否则记为1分，求所得分数的分布列.题型二、求离散型随机变量的分布列例6、从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中的一生人数为X,写出随机变量X的分布列.例7、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概率。练习、袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。例6：在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率。例7：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率。17例6、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数的分布列。（1）每次取出的产品都不放回该产品中；（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后再取另一产品。