第二讲 证明不等式的基本方法 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)

比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例1]若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0，求证：b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2≥2(xy＋yz＋zx)．[证明]∵b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2－2(xy＋yz＋zx)＝(bax2＋aby2－2xy)＋(cby2＋bcz2－2yz)＋(acz2＋cax2－2zx)＝(bax－aby)2＋(cby－bcz)2＋(acz－cax)2≥0.∴b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2≥2(xy＋yz＋zx)成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例2]设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)＞0，求证：(1)方程f(x)＝0有实根；(2)－2＜ba＜－1；(3)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则33≤|x1－x2|＜23.[证明](1)当a＝0，b＝－c，f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，由a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[(a－12c)2＋34c2]＞0.故方程f(x)＝0有实根．(2)由f(0)·f(1)0，得c(3a＋2b＋c)0.由a＋b＋c＝0，消去c得(a＋b)(2a＋b)0.因为a2＞0，所以(1＋ba)(2＋ba)＜0.故－2ba－1.(3)由已知得，知x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a＝－a＋b3a，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝49(ba＋32)2＋13.因为－2ba－1，所以13≤(x1－x2)249.故33≤|x1－x2|23.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例3]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2.[证明]要证a＋12＋b＋12≤2，只要证(a＋12＋b＋12)2≤4，即证a＋b＋1＋2a＋12b＋12≤4.只要证：(a＋12)(b＋12)≤1.也就是要证：ab＋12(a＋b)＋14≤1，即证ab≤14.∵a＞0，b0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，即上式成立．故a＋12＋b＋12≤2.(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．[例4]若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边．求证：a3＋b3＜c3.[证明]假设a3＋b3≥c3，则(ac)3＋(bc)3≥1.①∵a，b，c为直角三角形的三边且c为斜边，∴a2＋b2＝c2，ac∈(0,1)，bc∈(0,1)，∴(ac)2＋(bc)2＝1，∴(ac)3＋(bc)3＜1.②①与②矛盾．∴假设不成立．∴a3＋b3＜c3.[例5]求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n3.[证明]由11×2×3×…×k11·2·2·…·2＝12k－1(k是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n－1＝1＋1－12n1－12＝3－12n－1＜3.一、选择题1．证明命题：“f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋1ex，所以f′(x)＝ex－1ex.因为x＞0，所以ex＞1,0＜1ex＜1，所以ex－1ex＞0，即f′(x)＞0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案：A2．已知x10，x1≠1且xn＋1＝xnx2n＋33x2n＋1(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：“xn＜xn＋1或xn＞xn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．答案：B3．若a0，b0，则p＝aabb，q＝abba的大小关系是()A．p≥qB．p≤qC．pqD．pq解析：pq＝aabbabba＝(ab)a－b.当ab0时，ab1，a－b0，则(ab)a－b1，pq.当0ab时，0ab1，a－b0，则(ab)a－b1，pq.当a＝b0时，(ab)a－b＝1，p＝q，综上可知p≥q.答案：A4．已知a0，b－1，则下列不等式成立的是()A．aabab2B.ab2abaC.abab2aD.abaab2解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较1b，1b2，1的大小，再比较ab，ab2，a的大小．又因为a0，所以又可认为是在比较－1b，－1b2，－1的大小．因为b－1，所以11b21b.也可以令a＝－1，b＝－2，分别代入A、B、C、D中，知A、B、D均错．答案：C二、填空题5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋sinβ，则M、N的大小关系是________．解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα＋sinβ.答案：MN6．设a＞0，b＞0，M＝a＋ba＋b＋2，N＝aa＋2＋bb＋2，则M与N的大小关系是________．解析：∵a0，b0，∴N＝aa＋2＋bb＋2＞aa＋b＋2＋ba＋b＋2＝a＋ba＋b＋2＝M.∴M＜N.答案：M＜N7．若c＞ab0，比较大小：ac－a________bc－b.(填“＞”“＝”或“＜”)解析：∵cab0，∴c－bc－a0，∴1c－a1c－b0，又∵ab0，∴ac－abc－b.答案：8．如果aa＋bbab＋ba，则实数a，b应该满足的条件是________．解析：aa＋bbab＋ba⇒a(a－b)－b(a－b)0⇒(a－b)2(a＋b)0a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0，a≠b三、解答题9．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0.故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立。10．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.证明：法一(综合法)：因为a，b，c，d都是实数，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2＋b2＋c2＋d22.又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.法二(比较法)：显然有|ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1.先证明ac＋bd≥－1.∵ac＋bd－(－1)＝ac＋bd＋12＋12＝ac＋bd＋a2＋b22＋c2＋d22＝a＋c2＋b＋d22≥0.∴ac＋bd≥－1.再证明ac＋bd≤1.∵1－(ac＋bd)＝12＋12－(ac＋bd)＝a2＋b22＋c2＋d22－ac－bd＝a－c2＋b－d22≥0，∴ac＋bd≤1.综上得|ac＋bd|≤1.法三(分析法)：要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1.即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，②将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0.③因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立．原命题得证．11．(创新预测)已知a、b、c为三角形的三条边，求证：以a1＋a，b1＋b，c1＋c为边也可以构成一个三角形．证明：(放缩法)设f(x)＝x1＋x，x∈(0，＋∞)，设0x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x21＋x2－x11＋x1＝x2－x11＋x11＋x2＞0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∵a、b、c为三角形的三条边，于是a＋b＞c，∴c1＋c＜a＋b1＋a＋b＝a1＋a＋b＋b1＋a＋b＜a1＋a＋b1＋b，即c1＋c＜a1＋a＋b1＋b，同理：b1＋b＜a1＋a＋c1＋c，a1＋a＜b1＋b＋c1＋c.∴以a1＋a，b1＋b，c1＋c为边可以构成一个三角形．点击下图片进入: